Таблиця інтегралів

Інтегрування є одною з двох основних операцій математичного аналізу. Тоді як диференціювання має прості правила, за якими можна знайти похідну складних функцій через диференціювання її складових функцій, для інтегралів це не так, і тому таблиці відомих первісних виявляються часто дуже корисними. На цій сторінці представлено список основних первісних.

C вживається як довільна стала інтегрування інтегрування, яку можна визначити якщо відомо значення інтеграла в якій-небудь точці.

Правила інтегрування функцій

${\displaystyle \int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx}$

${\displaystyle \int f(ax+b)\,dx={1 \over a}F(ax+b)\,+C}$

${\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$

${\displaystyle \int [f(x)-g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx}$

${\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)\,dx}$ , або, що те ж саме:

${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx}$

Інтеграли простих функцій

Раціональні функції

${\displaystyle \int \,dx=x+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,}$ якщо ${\displaystyle n\neq -1}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}\,=\ln {\left|x\right|}+C}$

${\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\operatorname {arctg} {x \over a}+C}$

${\displaystyle \int \!{dx \over {x^{2}-a^{2}}}={1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right|+C}$

Логарифмічні функції

${\displaystyle \int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C}$

${\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}$

Показникові функції

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}$

Ірраціональні функції

${\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}$

${\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}$

${\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|x| \over a}+C}$

${\displaystyle \int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}\right|+C}$

${\displaystyle \int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}\right|+C}$

Тригонометричні функції

${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$

${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\operatorname {tg} x\right|}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {cosec} x\,dx=-\ln {\left|\operatorname {cosec} x+\operatorname {ctg} x\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\operatorname {tg} x+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {cosec} ^{2}x\,dx=-\operatorname {ctg} x+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,\operatorname {tg} x\,dx=\sec {x}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {cosec} x\,\operatorname {ctg} x\,dx=-\operatorname {cosec} x+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\operatorname {tg} x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\operatorname {tg} x|+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx=-{\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \!{dx \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} \,x+C}$

${\displaystyle \int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} \,x+C}$

Обернені тригонометричні функції

${\displaystyle \int \arcsin {x}\,dx=x\,\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int \arccos {x}\,dx=x\,\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arctg} x\,dx=x\,\operatorname {arctg} x-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\,\operatorname {arcsec} {x}+{\frac {{\sqrt {x^{2}-1}}\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}}{x\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccosec} x\,dx=x\,\operatorname {arccosec} x+{\frac {{\sqrt {x^{2}-1}}\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}}{x\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcctg} x\,dx=x\,\operatorname {arcctg} x+{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}$

Гіперболічні функції

${\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {th} x\,dx=\ln |\operatorname {ch} x|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {csch} x\,dx=\ln \left|\operatorname {th} {x \over 2}\right|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {sech} x\,dx=\operatorname {arctg} (\operatorname {sh} x)+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {cth} x\,dx=\ln |\operatorname {sh} x|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\operatorname {th} x+C}$

Обернені гіперболічні функції

${\displaystyle \int \operatorname {arsh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arch} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arth} \,x+{\frac {1}{2}}\ln {(1-x^{2})}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\ln {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x-\operatorname {arctg} {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcth} \,x+{\frac {1}{2}}\ln {(x^{2}-1)}+C}$

Композитні функції

${\displaystyle \int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C}$

${\displaystyle \int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C}$

${\displaystyle \int \cos ax\,\operatorname {ch} bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\operatorname {ch} bx+b\cos ax\,\operatorname {sh} bx\right)+C}$

${\displaystyle \int \sin ax\,\operatorname {ch} bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\operatorname {sh} bx-a\cos ax\,\operatorname {ch} bx\right)+C}$

Функції абсолютних величин

${\displaystyle \int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx={(ax+b)^{n+2} \over a(n+1)\left|ax+b\right|}+C\,\,[\,n{\text{ is odd, and }}n\neq -1\,]}$

${\displaystyle \int \left|\sin {ax}\right|\,dx={-1 \over a}\left|\sin {ax}\right|\operatorname {ctg} {ax}+C}$

${\displaystyle \int \left|\cos {ax}\right|\,dx={1 \over a}\left|\cos {ax}\right|\operatorname {tg} {ax}+C}$

${\displaystyle \int \left|\operatorname {tg} {ax}\right|\,dx={\operatorname {tg} {ax}[-\ln \left|\cos {ax}\right|] \over a\left|\operatorname {tg} {ax}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \left|\operatorname {cosec} {ax}\right|\,dx={-\ln \left|\operatorname {cosec} {ax}+\operatorname {ctg} {ax}\right|\sin {ax} \over a\left|\sin {ax}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\ln \left|\sec {ax}+\operatorname {tg} {ax}\right|\cos {ax} \over a\left|\cos {ax}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \left|\operatorname {ctg} {ax}\right|\,dx={\operatorname {tg} {ax}[\ln \left|\sin {ax}\right|] \over a\left|\operatorname {tg} {ax}\right|}+C}$

Спеціальні функції

${\displaystyle \int \operatorname {Ci} (x)dx=x\,\operatorname {Ci} (x)-\sin x}$

${\displaystyle \int \operatorname {Si} (x)dx=x\,\operatorname {Si} (x)+\cos x}$

${\displaystyle \int \operatorname {Ei} (x)dx=x\,\operatorname {Ei} (x)-e^{x}}$

${\displaystyle \int \operatorname {li} (x)dx=x\,\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)}$

${\displaystyle \int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x}$

${\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\,{\text{erf}}(x)}$

Визначені інтеграли без явних первісних

Для деяких функцій, чиї первісні не можуть бути представлені явно, тим не менш їхні деякі визначені інтеграли можуть бути обчислені. Тут перелічені деякі популярні інтеграли

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$ (дивись також Гамма-функція)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$ (Гаусовий інтеграл)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{xe^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {\sqrt {\pi }}{4a^{3}}}}$, де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2i+1}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {a!}{2a^{2i+2}}}}$, де ${\displaystyle a>0;\;\;\!i=1,2,3...}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2i}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {1*3*5*...*(2i-1)}{2^{i+1}a^{2i+1}}}{\sqrt {\pi }}}$, де ${\displaystyle a>0;\;\;\!i=1,2,3...}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{n}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{n+1}}}}$, де ${\displaystyle a>0\!}$; (дивись також Гамма-функція)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (дивись також числа Бернуллі)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {\ln {2}}{a}}}$ де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{12a^{2}}}}$ де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {7}{120}}{\frac {\pi ^{4}}{a^{4}}}}$ де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}}{\frac {\pi }{2}}}$ (якщо n парне число і ${\displaystyle \scriptstyle {n\geq 2}}$)

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}}}$ (якщо ${\displaystyle \scriptstyle {n}}$ непарне число і ${\displaystyle \scriptstyle {n\geq 3}}$)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$ (для цілих ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n}$ з ${\displaystyle \scriptstyle \beta \neq 0}$ і ${\displaystyle \scriptstyle m,n\geq 0}$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0}$ (для дійсних ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta }$ і невід'ємного цілого ${\displaystyle \scriptstyle n}$, дивись також Симетрія)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}(-1)^{(n+1)/2}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\mbox{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$ (для цілих ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n}$ з ${\displaystyle \scriptstyle \beta \neq 0}$ і ${\displaystyle \scriptstyle m,n\geq 0}$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}(-1)^{n/2}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\mbox{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$ (для цілих ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n}$ з ${\displaystyle \scriptstyle \beta \neq 0\!}$ та ${\displaystyle \scriptstyle m,n\geq 0\!}$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}$ (де ${\displaystyle \Gamma (z)\!}$ Гамма-функція)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}$ (де ${\displaystyle \exp[u]\!}$ експонента ${\displaystyle e^{u}}$, і ${\displaystyle a>0\!}$)

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}$ (де ${\displaystyle I_{0}(x)\!}$ модифікована Функція Бесселя першого роду)

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}dx}={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma (\nu /2)}{\Gamma ((\nu +1)/2))}}\,}$, ${\displaystyle \nu >0\,}$,  стосується функція густини ймовірності для T-розподілу Стьюдента

Для загального випадку, якщо первісної не існує, застосовується метод вичерпання:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}[\ln(1/x)]^{p}\,dx=p!}$

Випадково знайдені тотожності

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128599706266\dots )\\\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}n^{-n}&&(=0.783430510712\dots )\end{aligned}}}$

Обчислені Йоганном Бернуллі.

Див. також

• Методи інтегрування
• Таблиця похідних

Джерела

• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М. : Наука, 1978. — 228 с. (рос.)
• Основні формули інтегрування // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 369. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)