де — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної , штрих означає диференціювання по . Число називається порядком диференціального рівняння.
Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння
,
то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.
Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.
де — незалежна змінна, — невідома функція від змінної, — похідна функції, а — задана функція, яка визначена в деякій області простору .
Розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію ,, яка задовольняє такі умови:
( неперервно диференційована на );
;
.
Загальним розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію від незалежної змінної та параметра , яка задовольняє умову:
для будь-якого конкретного (допустимого) значення параметра функція від змінної , що пробігає допустимі значення з деякого числового проміжку (тобто, ), є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.
Якщо загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння першого порядку має таку властивість:
який би не був розв'язок , , звичайного диференційного рівняння першого порядку знайдеться значення параметра таке, що , ,
то цей загальний розв'язок називають повним загальним розв'язком (у протилежному разі його ще називають неповним загальним розв'язком).
Інтегралом звичайного диференціального рівняння першого порядку називають співвідношення вигляду , якщо будь-яка неявно задана ним неперервно диференційовна функція є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.
Диференціальне рівняння записане у вигляді у загальному вигляді ще називають неявним диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо ж у виразі, що задає рівняння явно виділено похідну , тобто рівняння записане як , то таке рівняння називають явним. Диференціальне рівняння першого порядку записане у вигляді
де задані неперервні функції двох змінних, які одночасно не тотожні нулю, називається диференціальним рівнянням записаним у симетричні формі.
Найпоширенішими типами диференціальних рівнянь першого порядку, які інтегруються у квадратурах є наступні:
Рівняння з відокремлюваними змінними
Рівняння у симетричній формі або явне диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлене у вигляді:
відповідно. Такі рівняння завжди можна розв'язати у квадратурах.
Однорідні рівняння
Поняття однорідного диференціального рівняння першого порядку пов'язане з однорідними функціями. Рівняння у симетричній формі у випадку, коли функції є однорідними функціями одного порядку, та явне рівняння у випадку, коли є однорідною функцією нульового порядку називаються однорідними диференціальними рівняннями.
Такі рівняння заміною змінних зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції
Диференціальне рівняння першого порядку у випадку коли є лінійною функцією за сукупністю змінних називається лінійним однорідним рівнянням і може бути записане у вигляді
Поряд з лінійним однорідним рівнянням розглядається також лінійне неоднорідне рівняння, яке має вигляд
Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння записується формулою
з якої, поклавши , отримуємо у загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння.