Метод варіації параметрів

Метод варіації параметрів або метод варіації довільної сталої (англ. variation of parameters, variation of constants) — це загальний метод для розв'язання неоднорідних лінійних звичайних диференціальних рівнянь. А саме знаходження часткового розв'язку неоднорідного рівняння, знаючи розв'язок відповідного однорідного рівняння.

Для неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зазвичай можливо з набагато меншими зусиллями знайти розв'язки, використовуючи інтегрувальний множник або невизначені коефіцієнти, хоча ці методи послуговуються евристиками, що вимагає вгадування і не спрацьовує для всіх неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.

Варіацію параметрів можна також поширити і на диференціальні рівняння з частинними похідними, конкретно на неоднорідні задачі для рівнянь лінійної еволюції як-от рівняння теплопровідності, хвильове рівняння і рівняння вібрування пластини. У цих умовах, метод відомий як принцип Дюамеля.

Лінійне диференціальне рівняння першого порядку

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

Розв'яжемо відповідне ЛОР і запишемо його загальний розв'язок.

${\displaystyle y'+p(x)y=0}$.

Однорідне рівняння можна розв'язати довільним методом, наприклад методом розділення змінних:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-p(x)y}$

${\displaystyle {dy \over y}=-{p(x)dx},}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx}$

${\displaystyle ln{(y)}=-\int p(x)\,dx+C}$

${\displaystyle y=e^{-\int p(x)\,dx+C}=Ce^{-\int p(x)\,dx}}$

Загальний розв'язок:

${\displaystyle y_{3}=Ce^{-\int p(x)\,dx}}$

Тепер розв'яжемо неоднорідне рівняння:

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

Використовуючи метод варіації довільних сталих, ми отримаємо частковий розв'язок із загального:

${\displaystyle y_{4acm}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}$

Підставляючи частковий розв'язок в нелінійне рівняння ми можемо знайти C(x):

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C}$

Тоді частковий розв'язок:

${\displaystyle y_{4acm}=Ce^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx}$

І загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння:

${\displaystyle y=y_{3}+y_{4acm}}$

${\displaystyle y=Ce^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+Ce^{-\int p(x)\,dx}}$

Звичайне диференціальне рівняння другого порядку

${\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=g(x).}$

Припустимо, що нам відомі лінійно незалежні розв'язки ${\displaystyle y_{1}(x)}$ і ${\displaystyle y_{2}(x)}$ для відповідного однорідного рівняння

${\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=0,}$

тоді ми шукаємо ${\displaystyle v_{1}(x)}$ і ${\displaystyle v_{2}(x)}$ такі, що

${\displaystyle y^{*}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}}$

${\displaystyle y^{'*}=(v_{1}^{'}y_{1}+v_{2}^{'}y_{2})+(v_{1}y_{1}^{'}+v_{2}y_{2}^{'}).}$

Тепер накладемо таку додаткову умову:

${\displaystyle v_{1}^{'}y_{1}+v_{2}^{'}y_{2}=0}$

отже

${\displaystyle y^{'*}=v_{1}y_{1}^{'}+v_{2}y_{2}^{'}}$

${\displaystyle y^{''*}=v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}+v_{1}y_{1}^{''}+v_{2}y_{2}^{''}}$

Підставимо ${\displaystyle y^{*},y^{'*}}$ і ${\displaystyle y^{''*}}$ в початкове рівняння, у результаті отримуємо

${\displaystyle v_{1}(y_{1}^{''}+py_{1}^{'}+qy_{1})+v_{2}(y_{2}^{''}+py_{2}^{'}+qy_{2})+v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}=g(x),}$

що спрощується до

${\displaystyle v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}=g(x).}$

Разом із додатковою умовою маємо систему

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}v_{1}^{'}y_{1}+v_{2}^{'}y_{2}=0\\v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}=g(x)\end{matrix}}\right.\ .}$

Для розв'язання щодо ${\displaystyle v_{1}^{'}}$ і ${\displaystyle v_{1}^{'}}$ використаємо правило Крамера, отримуємо

${\displaystyle v_{1}^{'}={\begin{vmatrix}0&y_{2}\\g(x)&y_{2}^{'}\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}^{'}&y_{2}^{'}\end{vmatrix}}=-{y_{2}\ g(x) \over W(x)}}$

${\displaystyle v_{2}^{'}={\begin{vmatrix}y_{1}&0\\y_{1}^{'}&g(x)\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}^{'}&y_{2}^{'}\end{vmatrix}}={y_{1}\ g(x) \over W(x)},}$

де ${\displaystyle W(y_{1},y_{2})=W(x)=y_{1}\ y_{2}^{'}-y_{2}\ y_{1}^{'}}$

це визначник Вронського, який є функцією тільки від ${\displaystyle x,}$ отже ми можемо проінтегрувати і отримати

${\displaystyle v_{1}\equiv -\int {y_{2}\ g(x) \over W(x)}\,dx}$

${\displaystyle v_{2}\equiv \int {y_{1}\ g(x) \over W(x)}\,dx,}$

довільні сталі інтегрування можна опустити, оскільки нам достатньо одного часткового розв'язку. Тепер, отримані ${\displaystyle v_{1}(x)}$ і ${\displaystyle v_{2}(x),}$ можна підставити для отримання часткового розв'язку

${\displaystyle y^{*}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}.}$

Посилання

Weisstein, Eric W. Метод варіації параметрів(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.