Метод Рунге — Кутти

Методи Рунге — Кутти — важлива група чисельних методів розв’язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названі на честь німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутти, які відкрили ці методи.

Класичний метод Рунге — Кутти 4-го порядку

Метод Рунге — Кутти 4-го порядку настільки широко розповсюджений, що його часто називають просто методом Рунге — Кутти або RK4.

Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь довільного порядку, що записується у векторній формі як

${\displaystyle {\textbf {y}}'={\textbf {f}}(x,{\textbf {y}}),~~~~~{\textbf {y}}(x_{0})={\textbf {y}}_{0}}$.

Тоді значення невідомої функції в точці ${\displaystyle \ x_{n+1}}$ обчислюється відносно значення в попередній точці ${\displaystyle \ x_{n}}$ за формулою:

${\displaystyle {\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+{h \over 6}({\textbf {k}}_{1}+2{\textbf {k}}_{2}+2{\textbf {k}}_{3}+{\textbf {k}}_{4})}$,

${\displaystyle \ x_{n+1}=x_{n}+h}$

де ${\displaystyle \ h}$ — крок інтегрування, а коефіцієнти ${\displaystyle {\textbf {k}}_{n}}$ розраховуються таким чином:

${\displaystyle {\textbf {k}}_{1}={\textbf {f}}\left(x_{n},{\textbf {y}}_{n}\right),}$

${\displaystyle {\textbf {k}}_{2}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{1}\right),}$

${\displaystyle {\textbf {k}}_{3}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{2}\right),}$

${\displaystyle {\textbf {k}}_{4}={\textbf {f}}\left(x_{n}+h,{\textbf {y}}_{n}+h{\textbf {k}}_{3}\right).}$

Це метод 4-го порядку, тобто похибка на кожному кроці становить ${\displaystyle \ O(h^{5})}$, а сумарна похибка на кінцевому інтервалі інтегрування є величиною ${\displaystyle \ O(h^{4})}$.

Прямі методи Рунге — Кутти

Група прямих методів Рунге — Кутти є узагальненням методу Рунге — Кутти 4-го порядку. Наближення задається формулами

${\displaystyle {\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}{\textbf {k}}_{i},}$

де

${\displaystyle {\textbf {k}}_{1}={\textbf {f}}(x_{n},{\textbf {y}}_{n}),\,}$

${\displaystyle {\textbf {k}}_{2}={\textbf {f}}(x_{n}+c_{2}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{21}h{\textbf {k}}_{1}),\,}$

${\displaystyle {\textbf {k}}_{3}={\textbf {f}}(x_{n}+c_{3}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{31}h{\textbf {k}}_{1}+a_{32}h{\textbf {k}}_{2}),\,}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle {\textbf {k}}_{s}={\textbf {f}}(x_{n}+c_{s}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{s1}h{\textbf {k}}_{1}+a_{s2}h{\textbf {k}}_{2}+\cdots +a_{s,s-1}h{\textbf {k}}_{s-1}).}$

Конкретний метод визначається числом ${\displaystyle \ s}$ і коефіцієнтами ${\displaystyle \ b_{i},a_{ij}}$ і ${\displaystyle \ c_{i}}$. Ці коефіцієнти часто впорядковують в таблицю

	0
	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle a_{21}}$
	${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{31}}$	${\displaystyle a_{32}}$
	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \ddots }$
	${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s1}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}}$
		${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}}$	${\displaystyle b_{s}}$

Для коефіцієнтів методу Рунге — Кутти мають справджуватись умови ${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}}$ для ${\displaystyle i={\overline {2,s}}}$.

Якщо ми хочемо, щоб метод мав порядок ${\displaystyle \ p}$, то варто так само забезпечити умову ${\displaystyle {\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})-{\textbf {y}}(h+x_{0})=O(h^{p+1}),}$ де ${\displaystyle {\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})}$ — наближення, отримане за методом Рунге — Кутти. Після багаторазового диференціювання ця умова перетвориться в систему поліноміальних рівнянь, розв'язки якої є коефіцієнтами методу.

Прямі методи розв'язку жорстких диференціальних рівнянь та їх систем неефективні внаслідок різкого збільшення кількості кроків обчислень (при зменшенні кроку інтегрування ${\displaystyle h}$) чи зростання похибки при недостатньо малому кроці ${\displaystyle h}$.

Нехай похибка має порядок ${\displaystyle k}$. Наближене значення ${\displaystyle y(x),}$ обчислене у точці ${\displaystyle x}$ із величиною кроку ${\displaystyle h}$, позначається ${\displaystyle Y(x,h).}$ Тоді у точці ${\displaystyle x=x_{0}+2nh}$

${\displaystyle y(x)-Y(x,h)\approx A2nh^{k+1}-A(x-x_{0})h^{k},\quad \quad y(x)-Y(x,2h)\approx An(2h)^{k+1}=A(x-x_{0})2^{k}h^{k},}$

тобто ${\displaystyle Y(x,2h)-Y(x,h)\approx A(x-x_{0})(1-2^{k})h}$ та, відповідно,

${\displaystyle y(x)-Y(x,h)\approx {\frac {Y(x,h)-Y(x,2h)}{2^{k}-1}}.}$

Помилка при кроці ${\displaystyle h}$ виражається через наближені значення при кроках ${\displaystyle h}$ та ${\displaystyle 2h.}$

Багатокрокові методи використовують для обчислення наступного значення ${\displaystyle y_{j+1}}$ лише інформацію з напівінтервалу ${\displaystyle [y_{j},y_{j+1})}$. Багатокрокові методи базуються на заміні диференціального рівняння

${\displaystyle y(x)-f(x,y(x))=0,\quad \quad y(a)=s}$

за сталого кроку ${\displaystyle h}$ різницевим рівнянням порядку ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}a_{j}^{(k)}y-h\sum _{j=0}^{k}b_{j}^{(k)}f(x_{k+j},y_{k+j})=0,\quad \quad a_{k}^{(k)}\neq 0,\quad \quad (a_{0}^{(k)})^{2}+(b_{0}^{(k)})^{2}\neq 0,\quad \quad n=0,1,...,}$

${\displaystyle y_{0}=s,y_{1},...,y_{k-1}}$ - задані значення.

Кожний спосіб такого типу визначається поліномами

${\displaystyle p_{k}(z)=a_{k}^{(k)}z^{k}+a_{k-1}^{(k)}z^{k-1}+...+z_{0}^{(k)},\quad \quad \sigma _{k}(z)=b_{k}^{(k)}z^{k}+b_{k-1}^{(k)}z^{k-1}+...b_{0}^{(k)}.}$

Якщо степінь ${\displaystyle \sigma _{k}}$ менше степені ${\displaystyle p_{k},}$ то говорять про явний (або відчинений) метод, якщо степені рівні, то про неявний (зачинений).

Приклад розв'язання в середовищі MATLAB

Розв'язання систем диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутти є одним з найбільш поширених числових методів розв'язання в техніці. В середовищі MATLAB/Octave (досить поширена і зручна мова програмування для технічних обчислень) реалізований один з його різновидів — метод Дорманда-Принса.

Див. також

• Метод Ейлера
• Метод Адамса
• Метод Хенрічі
• Метод Мілна

Література

• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (Розділи 16.1 і 16.2.).