Стійкість (динамічні системи)

В математиці, розв'язок диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за Ляпуновим, асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.

Постановка завдання стійкості динамічних систем

Нехай  — область простору , що містить початок координат, , де . Розглянемо систему (1) виду:

(1)

При будь-яких існує єдиний розв'язок x(t, t0, x0) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t0, t0, x0) = x0. Будемо припускати, що розв'язок x(t, t0, x0) визначено на інтервалі , причому .

Нехай дані також дві динамічні системи:

(2)

(3)

Кожен розв'язок системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом та початковою вектор-функцією де за Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції належать простору шматково-неперервних за функцій із рівномірною нормою де  — евклідова норма вектора.

Функціонал заданий й є неперервним у області

де  — множина функцій які задовільняють умові Припустимо, у цій області є справедливою оцінка

Відтак система (3) має розв'язок

Стійкість за Ляпуновим

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-яких  і  існує , залежне тільки від ε і t0 і не залежне від t, таке, що для будь-якого x0, для котрого , розв'язок x системи з початковими умовами x(t0) = x0 триває на всю піввісь t > t0 і задовольняє нерівності .

.

Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь

(4)

де  — n-вимірний вектор, компоненти векторної функції визначені й неперервно диференційовані за усіх та є однорідними функціями порядку Відтак система (4) має розв'язок

Розгляньмо функцію Ляпунова яка має наступні властивості:

  • неперервно диференційована;
  • додатно визначена;
  •  — однорідна функція порядку ;
  • справедлива рівність

Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) маємо

де Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення

Рівномірна стійкість за Ляпуновим

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:

Нестійкість за Ляпуновим

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:

Асимптотична стійкість

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова для всякого x з початковою умовою x0, що лежить у досить малому околі нуля.

Еквіасимптотична стійкість

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний.

Рівномірна асимптотична стійкість

Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний.

Асимптотична стійкість в цілому

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний.

Рівномірна асимптотична стійкість в цілому

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний.

Див. також

Література