В математиці, розв'язок диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за Ляпуновим, асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.
Постановка завдання стійкості динамічних систем
Нехай — область простору , що містить початок координат, , де . Розглянемо систему (1) виду:
(1)
При будь-яких існує єдиний розв'язок x(t, t0, x0) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t0, t0, x0) = x0. Будемо припускати, що розв'язок x(t, t0, x0) визначено на інтервалі , причому .
Нехай дані також дві динамічні системи:
(2)
(3)
Кожен розв'язок системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом та початковою вектор-функцією де за Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції належать простору шматково-неперервних за функцій із рівномірною нормою де — евклідова норма вектора.
Функціонал заданий й є неперервним у області
де — множина функцій які задовільняють умові Припустимо, у цій області є справедливою оцінка
Відтак система (3) має розв'язок
Стійкість за Ляпуновим
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-яких і існує , залежне тільки від ε і t0 і не залежне від t, таке, що для будь-якого x0, для котрого , розв'язок x системи з початковими умовами x(t0) = x0 триває на всю піввісь t > t0 і задовольняє нерівності .
.
Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь
(4)
де — n-вимірний вектор, компоненти векторної функції визначені й неперервно диференційовані за усіх та є однорідними функціями порядку Відтак система (4) має розв'язок
Розгляньмо функцію Ляпунова яка має наступні властивості:
неперервно диференційована;
додатно визначена;
— однорідна функція порядку ;
справедлива рівність
Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) маємо
де Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення
Рівномірна стійкість за Ляпуновим
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:
Нестійкість за Ляпуновим
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:
Асимптотична стійкість
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова для всякого x з початковою умовою x0, що лежить у досить малому околі нуля.
Еквіасимптотична стійкість
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний.
Рівномірна асимптотична стійкість
Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний.
Асимптотична стійкість в цілому
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний.
Рівномірна асимптотична стійкість в цілому
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний.
Малкин И. Г. Теория устойчивости движения : [рос.]. — 2-е изд., испр.. — М. : Наука, 1966.
Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости : [рос.]. — М. : Наука, 1967. — 472 с.
Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления : [рос.]. — 3-е изд., испр. и доп.. — М. : Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.