Осцилятор Ван дер Поля

Коливання при .

Осцилятор Ван дер Поля є одним з класичних прикладів неконсервативного коливання в динамічних системах з нелінійним згасанням. Система задовольняє звичайне диференціальне рівняння другого порядку

,

де (насправді функція часу ) означає позицію точки в одновимірному фазовому просторі, скалярний параметр який контролює нелінійність та згасання. Коли , тобто коли згасання відсутнє, рівняння спрощується до (консервативного) гармонічного осцилятора

Двовимірна форма

Фазові траєкторії двовимірної системи при різних значеннях параметра .

Коли , нульовий розв'язок системи нестійкий. За допомогою теореми Ліенара можна довести що система має стійкий граничний цикл. Нехай , тоді систему можна записати у двовимірному просторі як[1]

або, якщо взяти ,

Вимушені коливання

Детермінований хаос в системі Ван дер Поля з вимушеним коливанням. Параметр нелінійного загасання , амплітуда , кутова швидкість .

Осцилятор Ван дер Поля з вимушеними коливаннями під впливом зовнішньої періодичної сили можна записати наступним чином

де задає амплітуду, а кутову швидкість.

Історія

Осцилятор був вперше досліджений голландським фізиком Балтазаром Ван дер Полом та був названий на його честь.

Рівняння Ліенара, назване на честь французького інженера Альфред-Марі Ліенара, є узагальненням системи Ван дер Поля.

Посилання

  1. Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240–244, (1995).