Граничний цикл

Грани́чний цикл — це крива, до якої наближається фазова траєкторія двовимірної динамічної системи при автоколиваннях. Зазвичай є роз'язком системи кінетичних рівнянь, які описують дисипативну систему, тобто є однією з можливих фазових траєкторій. Граничні цикли виникають при біфуркаціях Гопфа.

Визначення

Перший приклад (нестікого) граничного циклу (Пуанкаре, 1882).[1]

Стійкий граничний цикл в системі Ван дер Поля (${\displaystyle \mu =1}$).

Напівстійкий граничний цикл.

Розглянемо двовимірну автономну систему звичайних диференціальних рівнянь:

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x),}$

де ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ гладка функція. Розв'язок цієї системи ${\displaystyle x(t)}$ заданий гладкою функцією ${\displaystyle x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ яка задовольняє систему диференціальних рівнянь. Траєкторія називається замкнутою, або періодичною, якщо розв'язок, з початковими умовами ${\displaystyle x(0)=x_{0}\in \mathbb {R} ^{2}}$, є (не сталою) періодичною функцією, тобто існує час ${\displaystyle \tau >0}$ після якого система повертається до початкової точки (${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} .~x(t+\tau )=x(t)}$).

Граничний цикл — замкнута траєкторія у фазовому просторі двовимірної динамічної системи, до якої збігається хоча б одна фазова траєкторія при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ або при ${\displaystyle t\rightarrow -\infty }$. Граничний цикл називається:[2]

• Стійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$.
• Нестійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при ${\displaystyle t\rightarrow -\infty }$.
• Напівстійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ з одного боку та при ${\displaystyle t\rightarrow -\infty }$ з іншого, або навпаки.

Приклади

Перший відомий приклад граничного циклу належить Пуанкаре, та був продемонстрований в 1882 році за допомогою наступної автономної системи [1] :

${\displaystyle {\dot {x}}=x(x^{2}+y^{2}-1)-y(x^{2}+y^{2}+1),}$

${\displaystyle {\dot {y}}=y(x^{2}+y^{2}-1)+x(x^{2}+y^{2}+1).}$

Ця система має нестійкий граничний цикл на одиничному колі у фазовому просторі, тобто на множині яка задовольняє алгебричне рівняння ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. На відміну від цього, в інших (навіть алгебричних) системах граничні цикли подекуди не можуть бути записаними за допомогою алгебричних рівнянь. Прикладом системи з токою властивістью є осцилятор Ван дер Поля:

${\displaystyle {\dot {x}}=y,}$

${\displaystyle {\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x,}$

зі стійким граничним циклом (при параметрі нелінійного згасання ${\displaystyle \mu >0}$) який не має алгебричного виразу.[3]

Заради прикладу напівстійкого граничного циклу можна розглянути наступну систему:

${\displaystyle {\dot {x}}=-y+x(-1+x^{2}+y^{2})^{2},}$

${\displaystyle {\dot {y}}=x+y(-1+x^{2}+y^{2})^{2}.}$

Напівстійкий граничний цикл цієї системи також лежить на одиничному колі.

Проблема існування

В загальному випадку, доведення існування граничного циклу є нетривіальною проблемою. Існують деякі критерії існування (на пр. Теорема Пуанкаре — Бендиксона) та неіснування граничних циклів (на пр. критерій Бендиксона — Дюлака^[en]), однак всі вони дають лише достатні умови.

Нерозв'язані проблеми

Друга частина Шістнадцятої проблеми Гільберта^[en].

Див. також

• Гранична точка
• Гранична множина
• Атрактор
• Теорема Пуанкаре — Бендиксона
• Критерій Бендиксона — Дюлака^[en]

Література

Лекції

• Limit cycles Лекція MIT [Архівовано 27 листопада 2015 у Wayback Machine.]. (англ.)
• Limit cycles Відео лекція MIT [Архівовано 27 листопада 2015 у Wayback Machine.]. (англ.)

Підручники

• Cristopher, Colin; Li, Chengzhi (2007). Limit Cycles of Differential Equations. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8409-8. (англ.)
• Ye, Yan-Qian; Lo, Chi Y (1986). Theory of Limit Cycles (Translations of Mathematical Monographs). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4773-2. (англ.)
• Bogoliubov, N.; Mitropolsky, Y. (1961). Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. Gordon & Breach. ISBN 978-0677200507. (англ.)

Посилання

1. Ginoux, Jean-Marc (2009). Differential Geometry Applied to Dynamical Systems. World Scientific Series on Nonlinear Science Series A: Volume 66. ISBN 978-981-4277-14-3. (англ.)
2. Arrowsmith, D. K.; Place, C.M. (1990). Ordinary Differential Equations: A Qualitative Aproach with Applications. Chapman and Hall. ISBN 978-0-412-22600-7. (англ.)
3. Odani, Kenzi (1995). The Limit Cycle of the van der Pol Equation Is Not Algebraic. Nagoya University: Elsevier,Journal of Differential Equations, Volume 115, Issue 1. Архів оригіналу за 6 травня 2021. Процитовано 25 листопада 2015. (англ.)