одна скалярна змінна — тоді значення вектор-функції визначають у деяку криву;
скалярних змінних — тоді значення вектор-функції утворюють у , загалом, -вимірну поверхню;
векторна змінна — в цьому випадку вектор-функцію зазвичай розглядають як векторне поле на .
Вектор-функція однією скалярною змінною
Для наочності далі обмежимося випадком тривимірного простору, хоча поширення на загальний випадок не становить труднощів. Вектор-функція однієї скалярної змінної відображає певний інтервал дійсних чисел у множину просторових векторів (інтервал може також бути нескінченним).
Вибравши координатні орти, Ми можемо розкласти вектор-функцію на три координатні функції, , :
Розглянуті як радіус-вектори, значення вектор-функції утворюють у просторі деяку криву, для якої t є параметром.
Кажуть, що вектор-функція має границю у точці , якщо (тут і далі позначають модуль вектора). Границя вектор-функції має звичайні властивості:
Границя суми вектор-функцій дорівнює сумі границь доданків (в припущенні, що вони існують).
Границя скалярного добутку вектор-функцій дорівнює скалярному добутку границь множників.
Границя векторного добутку вектор-функцій дорівнює векторному добутку границь множників.
Неперервність вектор-функції визначається традиційно.
Похідна вектор-функції за параметром
Визначимо похідну вектор-функції за параметром:
.
Якщо похідна в точці існує, вектор-функція називається диференційовною в цій точці. Координатними функціями для похідної будуть .
Властивості похідної вектор-функції (всюди передбачається, що похідні існують):
Для наочності обмежимося випадком двох змінних у тривимірному просторі. Значення вектор-функції (їх годограф) утворюють, загалом, двовимірну поверхню, на якій аргументи можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні.
У координатах рівняння має вид:
Аналогічно випадку однієї змінної, ми можемо визначити похідні вектор-функції, яких тепер буде дві: . Ділянка поверхні буде невиродженою (тобто в нашому випадку — двовимірною), якщо на ньому не перетворюється тотожно на нуль.
Криві на цій поверхні зручно задавати у вигляді:
,
де — параметр кривої. Залежності передбачаються диференційовними, причому в області, що розглядається, їх похідні не повинні одночасно перетворюватися на нуль. Особливу роль відіграють координатні лінії, що утворюють сітку координат на поверхні:
— перша координатна лінія.
— друга координатна лінія.
Якщо на поверхні немає особливих точок ( ніде не перетворюється на нуль), то через кожну точку поверхні проходять рівно дві координатні лінії.
Докладніше про геометричні застосування вектор-функцій декількох скалярних змінних див. Теорія поверхонь.
Література
Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)