Рівняння в повних диференціалах

Рівняння в повних диференціалах (англ. exact differential equation, total differential equation) — різновид звичайного диференціального рівняння, який широко використовується в фізиці і інженерії.

Визначення

Маємо однозв'язну область і відкриту підмножину D в R^2 і дві неперервні в D функції I та J, тоді неявне звичайне диференціальне рівняння першого порядку у вигляді

${\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!}$

називають Рівняння в повних диференціалах, якщо існує неперервно-диференційовна функція F, яку звуть функція потенціалу, така що

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=I}$

і

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=J.}$

Назва «рівняння в повних диференціалах» стосується повної похідної функції. Для функції ${\displaystyle F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}$, повна похідна щодо ${\displaystyle x_{0}}$ така

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.}$

Приклад

Функція ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ отримується з:

${\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c}$

І є функцією потенціалу для диференціального рівняння:

${\displaystyle x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y=0.\,}$

Існування функції потенціалу

У фізичних застосуваннях функції I та J зазвичай не тільки неперервні, але й неперервно-диференційовні. Теорема Шварца надає нам необхідний критерій існування функції потенціалу. Для диференціальних рівнянь на однозв'язній множині критерій також достатній і ми отримуємо така теорему: Диференціальне рівняння у формі:

${\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!}$

де I та J неперервно-диференційовні на однозв'язній і відкритій підмножині D в R^2, тоді функція потенціалу F існує тоді і тільки тоді

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).}$

Джерела

• Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN 966-06-0249-9.(укр.)
• Кривошея С.А.; Перестюк М.О.; Бурим В.М. (2004). Диференціальні та інтегральні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 407. ISBN 966-06-0348-7.(укр.)
• Рівняння в повних диференціалах на math24.net (англ.)