Векторне поле пов'язує вектор до кожної точки з підмножини простору.[1] Векторне поле на площині, як приклад, можна зобразити як набір стрілок із заданою величиною і напрямом, що прив'язані до окремих точок на площині. Векторні поля часто використовуються для моделювання, наприклад, напряму і швидкості руху рідини в просторі, або сили і напрямку дії деякої сили, такої як магнітна або гравітаційна сила, і того як вони змінюються від точки до точки.
Вектори і псевдовектори
У більш складних випадках, розрізняють псевдовекторні поля і псевдоскалярні поля, що є ідентичними до векторних і скалярним полів, замість того, що вони змінюють свій знак відповідно до мапи перевертання орієнтації: наприклад, ротор векторного поля є псевдовекторним полем, і якщо хтось відображає векторне поле, ротор вказує в протилежному напряму. Ці відмінності детально вивчаються в геометричній алгебрі.
Алгебраїчні (не диференційні) операції над векторами називаються векторною алгеброю, яка визначається для векторного простору і застосовується для векторного поля. Базовими векторними операціями є наступні:
Векторне числення вивчає різні диференціальні оператори визначені для скалярного або векторного полів, які зазвичай позначаються оператором Гамільтона (), що також відомий як "набла". Трьома основними векторними операторами є:
Вимірює різницю між значенням скалярного поля в їх середніх значеннях при нескінченно малих сферах.
Виконує перетворення між скалярними полями.
Векторний оператор лапласа
Вимірює різницю між значенням скалярного поля в їх середніх значеннях при нескінченно малих сферах.
Виконує перетворення між векторними полями.
позначає скалярне поле, а позначає векторне поле
Величина, що називається Якобіаном є корисною для вивчення функцій, коли коли область і діапазон значень функції є багатомірними, наприклад, при заміні змінних під час інтегрування.
Інтеграл над дивергенцією векторного поля по n-вимірному тілу дорівнює густині потоку векторного поля через (n − 1)-вимірну замкнену поверхню, що обмежує тіло.
Інтеграл над дивергенцією або кривою у векторному полі по деякій області в дорівнює густині потоку енергії або лінійному інтегралу у векторному полі по замкненій кривій, що обмежує область.
Для дивергенції, . Для кривої, . L і M є функціями змінних (x, y).
Застосування
Лінійна апроксимація
Лінійна апроксимація (наближення) використовується аби замінити складні функції лінійними функціями, що є дуже подібними. Дана диференційована функція дійсних змінних. Можна апроксимувати функцію для , що є близькими до за допомогою формули
В правій частині представлене рівняння площини, що є дотичною до графіку функції у точці
Для неперервно диференційованої функції багатьох дійсних змінних[en], точка P (що є множиною значень вхідних змінних, і яка розглядається як точка в просторі Rn) є критичною точкою якщо всі часткові похідні функції дорівнюють нулю в даній точці P, або, еквівалентно, якщо її градієнт дорівнює нулю. Критичними значеннями є значення функції в критичних точках.
Відповідно до теореми Ферма, всі локальні максимуми і мінімуми диференційованої функції знаходяться в критичних точках. Таким чином, аби знайти локальні максимуми і мінімуми, теоретично, є достатнім розрахувати нулі градієнта і власні значення матриці Гессе в цих нулях.
Для довільних векторних полів та і довільних склярних полів та
Узагальнення
Різні 3-вимірні многовиди
Векторне числення як правило визначається для евклідового 3-вимірного простору яке як правило має додаткову структуру крім простого представлення як 3-вимірного дійсного векторного простору, цією структурою є норма (що задає поняття довжини) яка визначається через внутрішній добуток (скалярний добуток). Це в свою чергу додає поняття кута, і орієнтації, що може визначатися за правилом правої чи лівої руки. Ці структури також приводять до поняття форми об'єму, а також до векторного добутку, який досить широко і всебічно використовується у векторному численні.
Оператори градієнту і дивергенції потребують лише існування внутрішнього добутку, а ротор і векторний добуток потребують враховувати направленість системи координат за правилом правої чи лівої руки.
Векторне числення може бути визначене і для інших 3-вимірних векторних просторів, якщо вони визначають предгільбертів простір (або в більш загально кажучи, мають симетричну невироджену форму) і орієнтацію. Варто зауважити що ці вимоги є вужчими за ізоморфізм Евклідового простору, оскільки векторне числення не потребує використання множини координат (тобто системи відліку), що підкреслює той факт, що векторне числення є інваріантним до обертань (спеціальна ортогональна групаSO(3)).
У більш загальному випадку, векторне числення може визначатися для будь-якого 3-вимірного орієнтованого ріманового многовиду, або для псевдоріманового многовида. Ця структура просто кажучи означає, що дотичний простір в кожній точці має внутрішній добуток (симетричну невироджену форму) і орієнтацію, або більш загально, в ньому існує симетричний невироджений метричний тензор і орієнтація, і це є дійсним тому що векторне числення визначається через дотичні вектори в кожній точці.