Ознака д'Аламбера

Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році:

Якщо для числового ряду ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ існує таке число ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle 0<q<1}$, що починаючи з деякого номера виконується нерівність ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q,}$ то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1,}$ то ряд розбігається.

Зокрема, якщо існує границя

${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,}$

(1)

то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо ${\displaystyle \rho <1}$, а якщо ${\displaystyle \rho >1}$ — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі). Якщо ${\displaystyle \rho =1}$ або границя не існує - тест не дає результату, бо ряди які відповідають таким випадкам можуть бути як збіжні, так і розбіжні.

Ознаку д'Аламбера можна застосувати і в випадках, коли границя ${\displaystyle \rho }$ не існує або дорівнює одиниці, якщо використати верхню і нижню границі. Нехай:

${\displaystyle R=\varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

${\displaystyle r=\varliminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$.

Тоді:[1][2]

• якщо R < 1, ряд абсолютно збіжний;
• якщо r > 1, ряд розбіжний;
• якщо ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1}$ для всіх великих n (незалежно від значення r), ряд теж розбіжний тому що ${\displaystyle |a_{n}|}$ ненульове і зрозстаюче, а тому a_n не наближається до нуля;
• інакше результат не визначений.

Якщо границя ${\displaystyle \rho }$ в (1) існує, то ${\displaystyle \rho =R=r}$. Таким чином ознака з верхньою і нижньою границею включає в себе ознаку зі звичайною границею.

Приклади

1. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

абсолютно збіжний для всіх комплексних ${\displaystyle z}$, бо

${\displaystyle \lim \left|{\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{n!}}}\right|=\lim {\frac {|z|}{n+1}}=0,}$

2. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!\;z^{n}}$

розбігається при всіх ${\displaystyle z\not =0}$, бо

${\displaystyle \lim \left|{\frac {(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^{n}}}\right|=\lim |(n+1)z|=\infty .}$

3. Якщо ${\displaystyle \rho =1}$, то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$     і     ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.

Розширення для ρ = 1

Як було видно вище, ознака не визначена коли границя дорівнює 1. Розширення ознаки д'Аламбера іноді дозволяють розібратися з такими випадками.[3][4][5][6][7][8][9][10]

У всіх ознаках нижче, вважаємо що Σa_n це сума додатніх a_n. Такі ознаки можна також застосовувати до будь-яких рядів зі скінченним числом від'ємних членів. Такі ряди можна записати як:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}}$

де a_N - це від'ємний елемент з найбільшим індексом.

Див. також

• Радикальна ознака Коші

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Ознака Даламбера (теорема) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 505. — 594 с.
• d'Alembert, J. (1768), Opuscules, т. V, с. 171—183.
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (вид. 2nd), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1: §8.14.
• Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, Bibcode:1956iss..book.....K, ISBN 978-0-486-60153-3: §3.3, 5.4.
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (вид. 3rd), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8: §3.34.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Bertrand criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Gauss criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Kummer criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (вид. 4th), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2: §2.36, 2.37.

Примітки

1. Rudin, 1976, §3.34
2. Apostol, 1974, §8.14
3. Bromwich, T. J. I'A (1908). An Introduction To The Theory of Infinite Series. Merchant Books.
4. Knopp, Konrad (1954). Theory and Application of Infinite Series. London: Blackie & Son Ltd.
5. Tong, Jingcheng (May 1994). Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series. The American Mathematical Monthly. 101 (5): 450—452. doi:10.2307/2974907. JSTOR 2974907.
6. Ali, Sayel A. (2008). The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series (PDF). The American Mathematical Monthly. 115 (6): 514—524. doi:10.1080/00029890.2008.11920558. S2CID 16336333. Процитовано 21 листопада 2018.
7. Samelson, Hans (November 1995). More on Kummer's Test. The American Mathematical Monthly. 102 (9): 817—818. doi:10.2307/2974510. JSTOR 2974510.
8. Blackburn, Kyle (4 травня 2012). The mth Ratio Convergence Test and Other Unconventional Convergence Tests (PDF). University of Washington College of Arts and Sciences. Процитовано 27 листопада 2018.
9. Ďuriš, František (2009). Infinite series: Convergence tests (Bachelor's thesis). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava. Процитовано 28 листопада 2018.
10. Ďuriš, František (2 лютого 2018). On Kummer's test of convergence and its relation to basic comparison tests. arXiv:1612.05167 [math.HO].