Ознака Веєрштраса

У математичному аналізі, ознака Веєрштраса є ознакою абсолютної і рівномірної збіжності функціональних рядів дійсної чи комплексної змінної.

Твердження

Нехай ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ послідовність функцій дійсної чи комплексної змінної визначених на множині ${\displaystyle A}$ і існують такі невід'ємні дійсні числа ${\displaystyle M_{n}}$ що

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

для всіх ${\displaystyle n}$≥${\displaystyle 1}$ і всіх ${\displaystyle x\in A}$. Якщо ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$

є збіжним, то функціональний ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

є абсолютно і рівномірно збіжним на ${\displaystyle A}$.

Доведення

Позначимо ${\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

Оскільки ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$ є збіжним i M_n ≥ 0 для всіх n, згідно ознаки Коші

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists N:\forall n>m>N:\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .}$

Для вибраного N,

${\displaystyle \forall x\in A:\forall n>m>N}$

${\displaystyle \left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .}$

Тобто часткова сума ряду є рівномірно збіжною. За визначенням ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}$ теж є рівномірно збіжним.

Література

• Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз: Підручник. — Львів : Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2007. — 416 с.
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Rudin, Walter(інші мови) (1987). Real and complex analysis (PDF) (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 416. ISBN 978-0-07-054234-1.(англ.)
• E. T. Whittaker, G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, ст. 49.