Інтегральна ознака Коші — Маклорена — ознака збіжності спадного додатного числового ряду . Ознака дає можливість звести перевірку збіжності ряду до перевірки збіжності невласного інтеграла відповідної функції на
[
1
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle [1,\infty )}
. Останній часто може бути знайдений в явному вигляді.
Формулювання теореми
Начерк доведення
Файл:Инт признак Коши.png
Побудуємо на графіку f (x) східчасті фігури як показано на малюнку
Площа більшої фігури дорівнює
S
b
=
f
(
1
)
+
f
(
2
)
+
f
(
3
)
+
.
.
.
+
f
(
n
− − -->
1
)
{\displaystyle S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)}
Площа меншої фігури дорівнює
S
s
=
f
(
2
)
+
f
(
3
)
+
f
(
4
)
+
.
.
.
+
f
(
n
)
{\displaystyle S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)}
Площа криволінійної трапеції під графіком функції дорівнює
S
t
r
=
∫ ∫ -->
1
n
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle S_{tr}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx}
Отримуємо
S
s
⩽ ⩽ -->
S
t
r
⩽ ⩽ -->
S
b
⇒ ⇒ -->
S
n
− − -->
a
1
⩽ ⩽ -->
∫ ∫ -->
1
n
f
(
x
)
d
x
⩽ ⩽ -->
S
n
− − -->
1
{\displaystyle S_{s}\leqslant S_{tr}\leqslant S_{b}\;\Rightarrow \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}
Далі доводиться за допомогою критерію збіжності знакододатних рядів .
Повне доведення
∀ ∀ -->
b
>
1
{\displaystyle \forall b>1}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
монотонна на
[
1
,
b
]
{\displaystyle [1,b]}
отже
∫ ∫ -->
1
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{1}^{b}f(x)dx}
збігається
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
[
n
,
n
+
1
]
{\displaystyle \forall x\in [n,n+1]}
f
(
n
)
⩾ ⩾ -->
f
(
x
)
⩾ ⩾ -->
f
(
n
+
1
)
{\displaystyle f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)}
∀ ∀ -->
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }
∫ ∫ -->
n
n
+
1
f
(
n
)
d
x
=
f
(
n
)
⩾ ⩾ -->
∫ ∫ -->
n
n
+
1
f
(
x
)
d
x
⩾ ⩾ -->
f
(
n
+
1
)
{\displaystyle \int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)}
S
n
=
f
(
1
)
+
.
.
.
+
f
(
n
)
⩾ ⩾ -->
∫ ∫ -->
1
n
+
1
f
(
x
)
d
x
⩾ ⩾ -->
S
n
+
1
− − -->
f
(
1
)
{\displaystyle S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)dx\geqslant S_{n+1}-f(1)}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
нестрого монотонно зростає
Позначимо
F
(
x
)
=
∫ ∫ -->
1
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{1}^{x}f(t)dt}
границі
S
n
{\displaystyle S_{n}}
і
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
— скінченні числа, отже
S
n
{\displaystyle S_{n}}
і
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
обмежені (ідея)
Нехай збігається інтеграл
∫ ∫ -->
1
∞ ∞ -->
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx}
⇒ ⇒ -->
{\displaystyle \Rightarrow }
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
обмежена
⇒ ⇒ -->
{\displaystyle \Rightarrow }
S
n
{\displaystyle S_{n}}
обмежена
⇒ ⇒ -->
{\displaystyle \Rightarrow }
∃ ∃ -->
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
S
n
{\displaystyle \exists \lim \limits _{n\to \infty }S_{n}}
Нехай тепер збігається сума
S
n
{\displaystyle S_{n}}
⇒ ⇒ -->
{\displaystyle \Rightarrow }
∀ ∀ -->
n
{\displaystyle \forall n}
∃ ∃ -->
S
⩾ ⩾ -->
S
n
{\displaystyle \exists S\geqslant S_{n}}
⇒ ⇒ -->
{\displaystyle \Rightarrow }
∀ ∀ -->
n
{\displaystyle \forall n}
S
⩾ ⩾ -->
∫ ∫ -->
1
n
+
1
f
(
x
)
d
x
⩾ ⩾ -->
∫ ∫ -->
1
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle S\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)dx\geqslant \int \limits _{1}^{b}f(x)dx}
⇒ ⇒ -->
{\displaystyle \Rightarrow }
F
(
b
)
{\displaystyle F(b)}
обмежена
⇒ ⇒ -->
{\displaystyle \Rightarrow }
∃ ∃ -->
lim
b
→ → -->
+
∞ ∞ -->
∫ ∫ -->
1
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \exists \lim \limits _{b\to +\infty }\int \limits _{1}^{b}f(x)dx}
, оскільки якщо функція
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
невід'ємна на деякому півінтервалі
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)}
, то для збіжності інтеграла
∫ ∫ -->
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}
необхідно і достатньо, щоб усі інтеграли
∫ ∫ -->
a
c
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)dx}
, де
c
∈ ∈ -->
[
a
,
b
)
{\displaystyle c\in [a,b)}
були обмеженими. Теорему доведено.
Приклади
∑ ∑ -->
1
n
{\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}
розбіжний, оскільки
∫ ∫ -->
1
∞ ∞ -->
1
x
d
x
=
ln
-->
x
|
1
∞ ∞ -->
=
∞ ∞ -->
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{\infty }=\infty }
.
∑ ∑ -->
1
n
2
{\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}}
збіжний, оскільки
∫ ∫ -->
1
∞ ∞ -->
1
x
2
d
x
=
− − -->
1
x
|
1
∞ ∞ -->
=
1
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=-\left.{\frac {1}{x}}\right|_{1}^{\infty }=1}
.
Оцінка залишку ряду
Інтегральна ознака Коші дозволяє оцінити залишок
r
n
{\displaystyle r_{n}}
знакододатного ряду. З отриманого в доведенні виразу
S
n
− − -->
a
1
⩽ ⩽ -->
∫ ∫ -->
1
n
f
(
x
)
d
x
⩽ ⩽ -->
S
n
− − -->
1
{\displaystyle S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}
за допомогою нескладних перетворень отримуємо:
∫ ∫ -->
n
+
1
∞ ∞ -->
f
(
x
)
d
x
⩽ ⩽ -->
r
n
⩽ ⩽ -->
∫ ∫ -->
n
∞ ∞ -->
f
(
x
)
d
x
⩽ ⩽ -->
a
n
+
∫ ∫ -->
n
+
1
∞ ∞ -->
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx}
.
Джерела