Ознака Раабе

Ознака Раабе (ознака Раабе — Дюамеля) — ознака збіжності числових рядів з додатніми членами. Встановлена Йозефом Людвігом Раабе і незалежно від нього — Жан-Марі Дюамелем.

Формулювання

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ збіжний, якщо при достатньо великих ${\displaystyle n}$ виконується нерівність ${\displaystyle R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\geqslant r,}$ де ${\displaystyle r>1}$. Якщо ${\displaystyle R_{n}<1}$, починаючи з деякого ${\displaystyle n}$, то ряд ${\displaystyle a_{n}}$ розбіжний.

Формулювання у граничній формі

Якщо існує границя: ${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }R_{n}}$ то при ${\displaystyle R>1}$ ряд збіжний, а при ${\displaystyle R<1}$ — розбіжний.

Зауваження. Якщо ${\displaystyle R=1}$, то ознака Раабе не дає відповіді на питання про збіжність ряду.

Доведення

Доведення базується на використанні узагальненої ознаки порівняння при порівнянні з узагальненим гармонічним рядом.

Див. також

• Ознака д'Аламбера — аналогічна ознака, що базується на відношенні сусідніх членів.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Ознака Раабе(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.