Дивергенція (математика)

Диверге́нція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.

Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля немає, або вони зрівноважені. Таке поле називають соленоїдальним.

Визначення

Дивергенцією ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }$ векторного поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$ в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню ${\displaystyle S}$, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{V\to 0}{\frac {\oint _{S}\mathbf {Fn} \,dS}{V}}.}$

В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}=\nabla \cdot \mathbf {F} ,}$

де ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$ — оператор Гамільтона

Властивості дивергенції

Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних.

• Дивергенція є лінійним оператором. Тобто для будь-яких векторних полів ${\displaystyle \mathbf {F} }$, ${\displaystyle \mathbf {G} }$ та будь-яких чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ справедливий наступний вираз:

${\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\,\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\,\operatorname {div} (\mathbf {G} ).}$

• Справедливий наступний вираз для дивергенції добутку скалярного поля ${\displaystyle \varphi }$ на векторне ${\displaystyle \mathbf {F} }$:

${\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \,\operatorname {div} (\mathbf {F} )}$

• Дивергенція поля, яке дорівнює векторному добутку двох полей, можна виразити через ротори кожного поля:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {rot} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} (\mathbf {G} ).}$

• Дивергенція від градієнта скалярного поля дорівнює лапласіану від цього поля:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} (\varphi ))=\Delta \varphi .}$

• Дивергенція ротора тотожно дорівнює нулю:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {rot} (\mathbf {F} ))=0.}$

Див. також

• Дивергентна границя (в геології)

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)