Третя похідна

У диференційному численні, третя похідна чи похідна третього порядку — це швидкість, з якою змінюється друга похідна, або швидкість зміни швидкості зміни, яка використовується, насамперед, для визначення відхилення.[1] Третя похідна функції ${\displaystyle f(x)=y}$ можна позначати через:

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad f'''(x),\quad {\text{or }}{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)].}$

Перераховані вище позначення є найбільш поширеними.

Позначення

Нехай ${\displaystyle f(x)}$ — функція деякої змінної х. Тоді третя похідна від ${\displaystyle f(x)}$ задається наступним чином: ${\displaystyle f'''(x)}$.

У Нотації Лейбніца: ${\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]={\frac {d}{dx}}[f''(x)]}$.

Приклад

Нехай ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$. Тоді ${\displaystyle f'(x)=4x^{3}}$ та ${\displaystyle f''(x)=12x^{2}}$. Тому, третя похідна від f(x):

${\displaystyle f'''(x)=24x}$

У Нотації Лейбніца:

${\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[x^{4}]=24x}$

Застосування у геометрії

У диференціальній геометрії скрут кривої - основна властивість кривої у тривимірному просторі. Скрут кривої обчислюється за допомогою третіх похідних координатних функцій (або вектора положення), що описують криву.[2]

Застосування у фізиці

У фізиці, насамперед у кінематиці, ривок визначається як третя похідна від радіус-вектору об'єкта. Це швидкість, з якою змінюється прискорення. Формула ривку:

${\displaystyle \mathbf {j} (t)={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}}$

де j ( t ) - функція ривка відносно часу, а r ( t ) - позиційна функція об'єкта відносно часу.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Посилання

1. Schot, Stephen (November 1978). Aberrancy: Geometry of the Third Derivative. Mathematics Magazine. 5. 51: 259—275. doi:10.2307/2690245. JSTOR 2690245.
2. do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.