Теорема Гріна

Теорема Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом по замкнутому контуру ${\displaystyle C}$ і подвійним інтегралом по області ${\displaystyle D}$, обмеженій цим контуром. Фактично, ця теорема є окремим випадком загальнішої теореми Стокса. Теорема названа на честь англійського математика Джорджа Гріна.

Формулювання

${\displaystyle D}$ — область, обмежена замкнутою кривою ${\displaystyle C}$

Нехай ${\displaystyle C}$ — додатно орієнтована кусково-гладка замкнута крива на площині, а ${\displaystyle D}$ — область, обмежена кривою ${\displaystyle C}$. Якщо функції ${\displaystyle P=P(x,y)}$, ${\displaystyle Q=Q(x,y)}$ визначені в області ${\displaystyle D}$ і мають неперервні часткові похідні ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}}$, то

${\displaystyle \oint _{C}P\,dx+Q\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

На символі інтеграла часто малюють коло, щоб підкреслити, що крива ${\displaystyle C}$ замкнена.

Доведення

Нехай область ${\displaystyle D}$ — криволінійна трапеція (область, правильна в напрямку ${\displaystyle OY}$):

${\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,y_{1}(x)\leq y\leq y_{2}(x)\}}$

Для кривої ${\displaystyle C}$, що обмежує область ${\displaystyle D}$, задамо напрямок обходу за годинниковою стрілкою.

Тоді:

${\displaystyle \iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{y_{1}(x,y)}^{y_{2}(x,y)}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dy=\int \limits _{a}^{b}(P(x,y_{2}(x))-P(x,y_{1}(x)))\,dx=}$

${\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{2}(x))\,dx-\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{1}(x))\,dx\quad (1)}$

Помітимо, що обидва одержані інтеграли можна замінити криволінійними інтегралами:

${\displaystyle \int \limits _{C_{1}}P(x,y)\,dx=-\int \limits _{-C_{1}}P(x,y)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{1}(x))\,dx\quad (2)}$

${\displaystyle \int \limits _{C_{3}}P(x,y)\,dx=\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{2}(x))\,dx\quad (3)}$

Інтеграл по ${\displaystyle C_{1}}$ береться зі знаком «мінус», оскільки, згідно з орієнтацією контуру, ${\displaystyle C}$ напрямок обходу даної частини — від ${\displaystyle b}$ до ${\displaystyle a}$.

Криволінійні інтеграли по ${\displaystyle C_{2}}$ і ${\displaystyle C_{4}}$ дорівнюватимуть нулю, оскільки ${\displaystyle x=\operatorname {const} }$:

${\displaystyle \int \limits _{C_{2}}P(x,y)\,dx=0\quad (4)}$

${\displaystyle \int \limits _{C_{4}}P(x,y)\,dx=0\quad (5)}$

Замінимо в (1) інтеграли згідно з (2) і (3), а також додамо (4) і (5), що рівні нулю і не впливають на значення виразу:

${\displaystyle \iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=\int \limits _{C_{1}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{3}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{2}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{4}}P(x,y)\,dx}$

Оскільки обхід за годинниковою стрілкою за правої орієнтації площини є від'ємним напрямком, то сума інтегралів в правій частині є криволінійним інтегралом по замкнутій кривій ${\displaystyle C}$ у від'ємному напрямку:

${\displaystyle \iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=-\int \limits _{C}P(x,y)\,dx\quad (6)}$

Аналогічно доводиться формула:

${\displaystyle \iint \limits _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,dx\,dy=\int \limits _{C}Q(x,y)\,dy\quad (7)}$

якщо за область ${\displaystyle D}$ взяти область, правильну в напрямку ${\displaystyle OX}$.

Віднімаючи (6) з (7), одержимо:

${\displaystyle \int \limits _{C}P\,dx+Q\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

Зв'язок з формулою Остроградського

Розглядаючи двовимірне векторне поле, теорема Гріна рівнозначна двовимірному випадку формули Остроградського:

${\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}$

де ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ це дивергенція двовимірного векторного поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$, а ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ це нормаль на границі, що вказує назовні.

Що побачити це, розглянемо одиничну нормаль ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ у правій частині рівності. Оскільки в теоремі Гріна ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}$ це вектор напрямлений вздовж дотичної до кривої, і крива C додатно орієнтована (тобто проти годинникової стрілки) крива вздовж межі, зовнішня нормаль це вектор напрямлений 90° праворуч від цього; можна обрати ${\displaystyle (dy,-dx)}$. Цей вектор завдовжки ${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ Тому ${\displaystyle (dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.}$

Отже,

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.}$

Див. також

• Дискретна теорема Гріна

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)