Ротор (математика)

Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, другий — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третій — координати функції, яка визначає векторне поле.

${\displaystyle {\text{rot}}\;\mathbf {A} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{matrix}}\right|=\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенціальним.

Позначення

${\displaystyle \operatorname {rot} }$ (використовується в російськомовній літературі, також в багатьох країнах Європи) або

${\displaystyle \operatorname {curl} }$ (в англомовній),

а також — як векторний добуток диференціального оператора набла на векторне поле:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times .}$

Приклад

Обертання навколо осі ${\displaystyle z}$ зі сталою кутовою швидкістю ${\displaystyle w}$ (траєкторії є колами з центром на ${\displaystyle z-}$осі): ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle -wy,wx,0\rangle .}$

Тоді ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\dots =0\mathbf {\hat {i}} +0\mathbf {\hat {j}} +(w+w)\mathbf {\hat {k}} =2w\mathbf {\hat {k}} .}$ Отже, довжина ротора дорівнює подвоєній кутовій швидкості і напрямок збігається з віссю обертання.

Фізичне значення

Розглянемо ротор у xy-площині. Ми інтерпретуємо ротор як подвоєну кутову швидкість маленького гребного колеса у цій точці.

Функцію ${\displaystyle ({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )}$ можна розглядати як вимір тенденції ${\displaystyle \mathbf {F} }$ створювати обертання. Інтерпретуючи ${\displaystyle \mathbf {F} }$ як силове поле або поле швидкостей, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ примушуватиме об'єкт розташований у точці ${\displaystyle P_{0}}$ обертатись із кутовою швидкістю пропорційною до ${\displaystyle ({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}.}$

Щоб бачити це використаємо гребне колесо з радіусом ${\displaystyle a}$ і центром у ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$ і вертикальною віссю. Нас цікавить як швидко обертатиметься колесо. Якби колесо мало лише одну лопать, швидкість цієї лопаті було б ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ,}$ тобто дорівнювала б складовій сили перпендикулярній до лопаті (спрямованій уздовж дотичної).

Оскільки ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ,}$ не однакова уздовж усього кола, якщо б колесо мало лише одну лопать, то його обертання було б нерівномірним. Але якщо лопатей багато, тоді колесо крутилось би із швидкістю, що дорівнювала б середньому значенню ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ,}$ уздовж кола. Це значення можна знайти шляхом інтегрування і ділення на довжину кола:

швидкість лопаті	${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi a}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ds={\frac {1}{2\pi a}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi a}}\int \int _{R}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}dxdy,}$ згідно з теоремою Гріна
	${\displaystyle \approx {\frac {1}{2\pi a}}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}\pi a^{2},}$

де ${\displaystyle ({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}}$ це значення функції у ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$ Обґрунтуванням останнього наближення є те, що якщо коло утворене гребним колесом маленький, тоді ${\displaystyle ({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )}$ по всьому регіону має значення приблизно ${\displaystyle ({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0},}$ отже множачи цю сталу на площу круга ми отримуємо значення подвійного інтеграла. З цього ми виводимо дотичну швидкість гребного колеса:

${\displaystyle {\frac {a}{2}}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}.}$

Ми можемо позбутися ${\displaystyle a}$ використавши кутову швидкість:

${\displaystyle \omega _{0}\approx {\frac {1}{2}}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}.}$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Вища школа, 1993. — 375 с. — ISBN 5-11-003758-2.(укр.)
• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2007. — Т. 2 : Л — Р. — 670 с. — ISBN 57740-0828-2.