Ознаки збіжності рядів — ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду . Нехай дано ряд
U
1
+
U
2
+
U
3
+
U
4
+
U
5
+
⋯ ⋯ -->
+
U
n
+
⋯ ⋯ -->
.
(
1
)
{\displaystyle U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+\dots +U_{n}+\cdots .\qquad (1)}
Частковими сумами цього ряду будуть:
S
1
=
U
1
,
S
2
=
U
1
+
U
2
,
S
3
=
U
1
+
U
2
+
U
3
,
… … -->
,
S
n
=
U
1
+
U
2
+
⋯ ⋯ -->
+
U
n
.
{\displaystyle S_{1}=U_{1},\qquad S_{2}=U_{1}+U_{2},\qquad S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3},\qquad \dots ,\qquad S_{n}=U_{1}+U_{2}+\dots +U_{n}.}
Ряд (1) є збіжним , якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
S
n
=
S
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=S.}
Число
S
{\displaystyle S}
є сумою ряду, отже:
U
1
+
U
2
+
U
3
+
U
4
+
U
5
+
⋯ ⋯ -->
+
U
n
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
U
n
=
S
.
{\displaystyle U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+\dots +U_{n}+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }U_{n}=S.}
Коли ж границя часткових сум не існує або дорівнює нескінченності , то ряд є розбіжним .
Класифікація ознак збіжності
Ознаки збіжності рядів поділяються на необхідні й достатні.
Необхідна умова збіжності означає:
якщо вона виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним,
якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним.
Можна сказати, що необхідна умова збіжності ряду є достатньою умовою його розбіжності.
Достатня умова збіжності означає:
якщо вона виконується, то ряд є збіжним,
якщо вона не виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним.
У залежності від того, збіжність яких рядів доводиться, ознаки поділяються на ознаки збіжності для знакододатних рядів , знакопереміжних рядів , функціональних рядів , рядів Фур'є .
Список ознак
Необхідна умова збіжності
Якщо границя послідовності утвореної членами ряду є невизначеною або відмінною від нуля, так що
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
a
n
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}
, то ряд є розбіжним. У цьому сенсі, часткові суми ряду утворюють фундаментальну послідовність лише тоді , коли ця границя існує та рівна нулю. Ця ознака не є достатньою: про збіжність або розбіжність ряду не можна стверджувати на основі цієї ознаки, якщо граничне значення члену ряду рівне нулю.
Критерій збіжності
Додатній ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
a
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}
збігається тоді й лише тоді , коли послідовність його часткових сум
S
(
n
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle S(n)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
обмежена зверху.
Ознаки порівняння
Якщо ряд
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
b
n
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n}}
є абсолютно збіжним та
|
a
n
|
≤ ≤ -->
|
b
n
|
{\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}
для достатньо великих
n
{\displaystyle n}
, то ряд
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
a
n
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}
є абсолютно збіжним.
Якщо
{
a
n
}
,
{
b
n
}
>
0
{\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}
(тобто всі елементи обох послідовностей додатні) та границя
lim
t
→ → -->
∞ ∞ -->
a
n
b
n
{\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}
існує, є скінченною та відмінною від нуля, тоді ряд
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
a
n
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}
є розбіжним тоді й лише тоді , коли ряд
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
b
n
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n}}
є розбіжним.
Ознака д'Аламбера
Припустимо, що існує таке
r
{\displaystyle r}
, що
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
|
a
n
+
1
a
n
|
=
r
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}
Якщо
r
<
1
{\displaystyle r<1}
, то ряд є абсолютно збіжним. Якщо
r
>
1
{\displaystyle r>1}
, то ряд є розбіжним. Якщо
r
=
1
{\displaystyle r=1}
, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.
Радикальна ознака Коші
Нехай
r
=
lim sup
n
→ → -->
∞ ∞ -->
|
a
n
|
n
,
{\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}
де
lim sup
{\displaystyle \limsup }
позначає верхню границю послідовності (можливо
∞ ∞ -->
{\displaystyle \infty }
; якщо границя існує, то вона має таке ж значення).
Якщо
r
<
1
{\displaystyle r<1}
, то ряд є збіжним. Якщо
r
>
1
{\displaystyle r>1}
, то ряд є розбіжним. Якщо
r
=
1
{\displaystyle r=1}
, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Радикальна ознака є більш сильною ніж ознака д'Аламбера: якщо збіжність (розбіжність) доведена на основі ознаки д'Аламбера то вона завжди може бути доведена і на основі радикальної ознаки Коші , але не навпаки.[ 1] Наприклад, ряд
1
+
1
+
0
,
5
+
0
,
5
+
0
,
25
+
0
,
25
+
0,125
+
0,125
+
⋯ ⋯ -->
=
4
{\displaystyle 1+1+0{,}5+0{,}5+0{,}25+0{,}25+0{,}125+0{,}125+\cdots =4}
є збіжним за радикальною ознакою, але за ознакою д'Аламбера про збіжність (розбіжність) цього ряду стверджувати не можна.
Інтегральна ознака Маклорена — Коші
Ряд можна порівнювати із інтегралом, для того, щоб визначити збіжність або розбіжність. Нехай
f
: : -->
[
1
,
∞ ∞ -->
)
→ → -->
R
+
{\displaystyle f\colon [1,\infty )\rightarrow \mathbb {R} _{+}}
невід'ємна та монотонно-спадна функція , така що
f
(
n
)
=
a
n
{\displaystyle f(n)=a_{n}}
. Якщо
∫ ∫ -->
1
∞ ∞ -->
f
(
x
)
d
x
=
lim
t
→ → -->
∞ ∞ -->
∫ ∫ -->
1
t
f
(
x
)
d
x
<
∞ ∞ -->
,
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,{\rm {d}}x<\infty ,}
то ряд є збіжним. Але якщо інтеграл є розбіжним, то ряд також є розбіжним. Іншими словами, ряд
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
a
n
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}
є збіжним тоді і лише тоді , коли відповідний невласний інтеграл є збіжним.
Ознака збіжності узагальнених гармонічних рядів
Загальновживаним наслідком інтегральної ознаки є ознака збіжності для узагальненого гармонічного ряду. Нехай
k
>
0
{\displaystyle k>0}
. Тоді
∑ ∑ -->
n
=
k
∞ ∞ -->
(
1
n
p
)
{\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{p}}}\right)}
збігається, якщо
p
>
1
{\displaystyle p>1}
. При
p
=
1
{\displaystyle p=1}
,
k
=
1
{\displaystyle k=1}
отримуємо гармонічний ряд, який є розбіжним. При
p
=
2
{\displaystyle p=2}
,
k
=
1
{\displaystyle k=1}
отримуємо ряд обернених квадратів (задача Базеля) і цей ряд є збіжним до
π π -->
2
6
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}
. У загальному випадку, для
p
>
1
{\displaystyle p>1}
,
k
=
1
{\displaystyle k=1}
ряд співпадає з дзета-функцією Рімана від
p
{\displaystyle p}
, тобто
ζ ζ -->
(
p
)
{\displaystyle \zeta (p)}
.
Ознака стиснення Коші
Нехай
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
є незростаючою послідовністю. Тоді сума
A
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
a
n
{\displaystyle A=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}
збігається тоді і лише тоді , коли сума
A
∗ ∗ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
2
n
a
2
n
{\displaystyle A^{*}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}
збігається. Більше того, якщо вони збігаються, то справедлива нерівність
A
≤ ≤ -->
A
∗ ∗ -->
≤ ≤ -->
2
A
{\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}
.
Ознака Абеля
Нехай справедливі наступні твердження:
∑ ∑ -->
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
– збіжний ряд,
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}}
є монотонною послідовністю та
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}}
є обмеженою.
Тоді ряд
∑ ∑ -->
a
n
b
n
{\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}
також є збіжним.
Ознака абсолютної збіжності
Будь-який абсолютно збіжний ряд є збіжним.
Ознака Лейбніца
Припустимо, що справедливі наступні твердження:
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
a
n
=
0
{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}
та
для будь-якого
n
{\displaystyle n}
,
a
n
+
1
≤ ≤ -->
a
n
{\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}
.
Тоді ряди
∑ ∑ -->
n
=
k
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
a
n
{\displaystyle \sum \limits _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}
та
∑ ∑ -->
n
=
k
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
+
1
a
n
{\displaystyle \sum \limits _{n=k}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}
є збіжними.
Ознака Діріхле
Якщо
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
послідовність дійсних чисел та
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}}
послідовність комплексних чисел , які задовольняють такі умови:
a
n
≥ ≥ -->
a
n
+
1
{\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}
,
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
a
n
=
0
{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}
,
|
∑ ∑ -->
n
=
1
N
b
n
|
≤ ≤ -->
M
{\displaystyle {\bigg |}\sum \limits _{n=1}^{N}b_{n}{\bigg |}\leq M}
, для всякого натурального
N
{\displaystyle N}
,
де
M
{\displaystyle M}
– деяка стала, тоді ряд
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
a
n
b
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}
є збіжним.
Ознака Раабе–Дюамеля
Нехай
a
n
>
0
{\displaystyle a_{n}>0}
. Визначимо
b
n
{\displaystyle b_{n}}
як
b
n
=
n
(
a
n
a
n
+
1
− − -->
1
)
,
{\displaystyle b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}-1}}\right),}
якщо
L
=
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
b
n
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}
існує, то можливі такі варіанти:
L
>
1
{\displaystyle L>1}
— ряд є збіжним,
L
<
1
{\displaystyle L<1}
— ряд є розбіжним,
L
=
1
{\displaystyle L=1}
— за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.
Існує альтернативне формулювання цієї ознаки. Нехай
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
- послідовність дійсних чисел. Тоді, якщо існують такі
b
>
1
{\displaystyle b>1}
та
K
{\displaystyle K}
(натуральне число ), що
|
a
n
+
1
a
n
|
≤ ≤ -->
1
− − -->
b
n
{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}}
, для всіх
n
>
K
,
{\displaystyle n>K,}
то ряд
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
a
n
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}
є збіжним.
Ознака Бертрана
Нехай
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
послідовність додатних чисел . Визначимо
b
n
{\displaystyle b_{n}}
як
b
n
=
ln
-->
n
(
n
(
a
n
a
n
+
1
− − -->
1
)
− − -->
1
)
.
{\displaystyle b_{n}=\ln {n}\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).}
Якщо
L
=
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
b
n
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}
існує, то можливі такі випадки:[ 2] [ 3]
L
>
1
{\displaystyle L>1}
— ряд є збіжним,
L
<
1
{\displaystyle L<1}
— ряд є розбіжним,
L
=
1
{\displaystyle L=1}
— за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.
Ознака Гауса
Нехай
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
послідовність додатних чисел. Якщо
a
n
a
n
+
1
=
1
+
α α -->
n
+
O
(
1
n
β β -->
)
,
{\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n^{\beta }}}\right),}
для певного
β β -->
>
1
{\displaystyle \beta >1}
, то ряд
∑ ∑ -->
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
є збіжним, якщо
α α -->
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
, і є розбіжним, якщо
α α -->
≤ ≤ -->
1
{\displaystyle \alpha \leq 1}
.[ 4]
Ознака Куммера
Нехай { a n } - послідовність додатніх чисел. Тоді:[ 5] [ 6] [ 7]
(1)
∑ ∑ -->
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
є збіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність
b
n
{\displaystyle b_{n}}
додатніх чисел і дійсне число c > 0 таке що
b
k
(
a
k
/
a
k
+
1
)
− − -->
b
k
+
1
≥ ≥ -->
c
{\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c}
.
(2)
∑ ∑ -->
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
є розбіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність
b
n
{\displaystyle b_{n}}
додатніх чисел таких що
b
k
(
a
k
/
a
k
+
1
)
− − -->
b
k
+
1
≤ ≤ -->
0
{\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0}
і
∑ ∑ -->
1
/
b
n
{\displaystyle \sum 1/b_{n}}
розбігається.
Примітки
Приклади
Розглянемо ряд
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
1
n
α α -->
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.}
(i )
З ознаки стиснення Коші випливає, що (i ) є скінченно збіжним, якщо
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
2
n
(
1
2
n
)
α α -->
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }}
(ii )
є скінченно збіжним. Оскільки
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
2
n
(
1
2
n
)
α α -->
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
2
n
− − -->
n
a
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
2
(
1
− − -->
a
)
n
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-na}=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-a)n},}
то (ii ) є геометричним рядом зі знаменником
2
(
1
− − -->
α α -->
)
{\displaystyle 2^{(1-\alpha )}}
. (ii ) є скінченно збіжним, коли знаменник геометричного ряду менший від одиниці (а саме, коли
α α -->
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
). Отже, (i ) є скінченно збіжним тоді і лише тоді , коли
α α -->
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
.
Збіжність добутків
Хоча більшість ознак визначають збіжність (розбіжність) нескінченних рядів, вони також можуть бути застосовані для визначення збіжності чи розбіжності нескінченних добутків . Цього можна досягти шляхом застосування наступної теореми: нехай
{
a
n
}
n
=
1
∞ ∞ -->
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
послідовність додатних чисел. Тоді нескінченний добуток
∏ ∏ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
(
1
+
a
n
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}
є збіжним тоді і лише тоді , коли ряд
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
a
n
є збіжним.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\quad {\text{є збіжним.}}}
Аналогічно, якщо виконується умова
0
<
a
n
<
1
{\displaystyle 0<a_{n}<1}
, то
∏ ∏ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
(
1
− − -->
a
n
)
{\displaystyle \prod \limits _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})}
прямує до відмінної від нуля границі тоді і лише тоді, коли ряд
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
a
n
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}
є збіжним.
Це може бути доведено за допомогою логарифмування добутку та застосування ознаки граничного порівняння.[ 8]
Див. також
Примітки
↑ Wachsmuth, Bert G. MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test . www.mathcs.org .
↑ František Ďuriš, Infinite series: Convergence tests , pp. 24–9. Bachelor's thesis.
↑ Weisstein, Eric W. Bertrand's Test . mathworld.wolfram.com (англ.) . Процитовано 16 квітня 2020 .
↑ * Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Gauss criterion , Математична енциклопедія , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1835 (13): 171—184. 1 січня 1835. doi :10.1515/crll.1835.13.171 . ISSN 0075-4102 . S2CID 121050774 .
↑ Tong, Jingcheng (1994). Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series . The American Mathematical Monthly . 101 (5): 450—452. doi :10.2307/2974907 . JSTOR 2974907 .
↑ Samelson, Hans (1995). More on Kummer's Test . The American Mathematical Monthly (англ.) . 102 (9): 817—818. doi :10.1080/00029890.1995.12004667 . ISSN 0002-9890 .
↑ Belk, Jim (26 січня 2008). Convergence of Infinite Products .
Джерела
Посилання