Загальне правило Лейбніца

Загальне правило Лейбніца — в диференціальному численні, це узагальнення правила добутку для обчислення n-ої похідної. Назване на честь Готфріда Вільгельма Лейбніца.

Воно стверджує, що якщо${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ є n-раз диференційовними функціями, тоді добуток ${\displaystyle fg}$ також є n-раз диференційовним і n-та похідна рівна

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$

де ${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$ — біноміальний коефіцієнт, а ${\displaystyle f^{(j)}}$ позначає j-ту похідну від f (зокрема ${\displaystyle f^{(0)}=f}$).

Формула доводиться використанням правила добутку та математичної індукції.

Друга похідна

${\displaystyle (f\cdot g)''=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}g^{(k)}}=f''\cdot g+2f'\cdot g'+f\cdot g''}$

Більше двох множників

Формула узагальнюється для m диференційовних функцій f₁,...,f_m.

${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}$

сума береться по всіх m-кортежах (k₁,...,k_m) не від'ємних цілих із ${\textstyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$ де ${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$ — мультиноміальні коефіцієнти.

Доведення

Доведення методом математичної індукції. Для ${\displaystyle n=1}$ формула: ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg',}$ справедлива, бо є відомим правилом добутку. Нехай твердження справедливе для деякого ${\displaystyle n\geq 1,}$ тобто

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}$

Тоді,

${\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}$

Тобто твердження справедливе для ${\displaystyle n+1}$, що і потрібно було довести.

Для функції багатьох змінних

...

Див. також

• Біном Ньютона
• Трикутник Паскаля
• Диференціювання (алгебра)
• Диференціальна алгебра
• Правило добутку
• Правило частки