Диференціювання (алгебра)

В алгебрі диференціювання — операція, що узагальнює властивості різних класичних похідних і дозволяє ввести диференційно-геометричні ідеї в алгебраїчну геометрію. Спершу поняття було введено для дослідження інтегрованості в елементарних функціях алгебраїчними методами.

Визначення

Нехай ${\displaystyle A}$ — алгебра над кільцем ${\displaystyle R}$. Диференціюванням алгебри ${\displaystyle A}$ називається ${\displaystyle R}$-лінійне відображення ${\displaystyle \partial :A\to A}$, що задовольняє правилу добутку:

${\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)}$

Більш загально диференціюванням комутативної алгебри ${\displaystyle A}$ із значеннями в ${\displaystyle A}$-модулі ${\displaystyle M}$ називається ${\displaystyle R}$-лінійне відображення ${\displaystyle \partial :A\to M}$, що задовольняє правилу добутку. В цьому випадку ${\displaystyle M}$ називають диференційним модулем над ${\displaystyle A.}$ Множина всіх диференціювань із значеннями в ${\displaystyle M}$ позначається ${\displaystyle \mathrm {D} (M)}$ (${\displaystyle \mathrm {Der} (M)}$, ${\displaystyle \mathrm {Der} _{R}(A,M)}$) і є ${\displaystyle A}$-модулем.

Властивості

• На ${\displaystyle \mathrm {D} (A)}$ можна природно ввести структуру алгебр Лі: ${\displaystyle \mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}\in \mathrm {D} (A)\implies [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}\in \mathrm {D} (A)}$
• Якщо x₁, x₂, ..., x_n ∈ A, тоді методом математичної індукції:

${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}=\sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$

(остання рівність справедлива, якщо для всіх ${\displaystyle i,\ D(x_{i})}$ комутує з ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{i-1}}$).

• Зокрема якщо A є комутативною і x₁ = x₂ = ... = x_n, то D(x^n) = nx^n−1D(x).
• Якщо алгебра A має одиничний елемент 1, то D(1) = 0 оскільки D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1). Крім того оскільки D є K-лінійною, для всіх x ∈ K, D(x) = D(x·1) = x·D(1) = 0.
• Якщо k ⊂ K є підкільцем, і A є k-алгеброю, тоді справедливим є включення

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}$

Градуйоване диференціювання

Нехай ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-градуйована алгебра, градуювання елемента ${\displaystyle a\in A}$ позначимо ${\displaystyle |a|}$. Правильним аналогом диференціювань в цьому випадку є градуйовані дифференціювання, породжені однорідними відображеннями ${\displaystyle \mathrm {D} :A\to A}$ степеня ${\displaystyle |\mathrm {D} |}$, що задовільняють градуйованим тотожностям (${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$):

${\displaystyle \mathrm {D} (ab)=(\mathrm {D} a)b+\varepsilon ^{|a||\mathrm {D} |}a(\mathrm {D} b)}$

Якщо ${\displaystyle \varepsilon =1}$, то градуийовані диференціювання рівні звичайним. Якщо ${\displaystyle \varepsilon =-1}$, то їх зазвичай називають супердиференціюваннями. Супердиференціювання утворюють супералгебру Лі відносно суперкомутатора

${\displaystyle [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-(-1)^{|\mathrm {D} _{1}||\mathrm {D} _{2}|}\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}}$

Прикладами супердиференціювань є внутрішнє і зовнішнє диференціювання на кільці диференціальних форм.

Література

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Kolar, Ivan; Slovak, Jan; Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, архів оригіналу за 14 лютого 2021, процитовано 2 грудня 2016.

Див. також

• Диференціальна алгебра