Алгебра над кільцем — алгебрична структура з операціями додавання , множення та множення на скаляр , така що: якщо R — комутативне кільце, тоді R-алгеброю (тобто, алгеброю над кільцем R ) є R-модуль, що одночасно є кільцем в якому R-білінійне множення.
Формально — є R-алгеброю, якщо:
- — є R-модулем;
- — є кільцем (в деяких авторів асоціативність не вимагається);
Пов'язані визначення:
- Якщо A є комутативним кільцем, тоді воно називається комутативною R-алгеброю.
- Якщо R є полем, тоді A називається алгеброю над полем.
- Алгебра з діленням — алгебра в якій можливе ділення. В такій алгебрі не існує дільників нуля.
- Нормована алгебра — це алгебра над полем з нормою ||·||, що задовільняє умову:
Алгебра над полем
Алгебра над полем за визначенням є векторним простором над , тобто має базис.
Це дає можливість будувати алгебри над полем по базису, для цього достатньо задати таблицю множення базисних елементів. Такий підхід зручний для скінченновимірних алгебр.
Приклади
Див. також
Джерела