Кубічна ґратка алгебричних структурмагми до групи . Ма́гма (групоїд ) — базова алгебрична структура в абстрактній алгебрі ; складається з множини М з однією бінарною операцією M × M → M , яку зазвичай називають множенням. Єдиною вимогою є замкнутість множини щодо заданої операції.
Термін магма запропонував Бурбакі . Термін «групоїд » старіший, його запропонував Ойстін Оре [en] теоретико-категорний групоїд .
Найбільш вивченими типами магм є:
Права квазігрупа — групоїд, в якому можливе праве ділення , тобто рівняння
x
⋅
a
=
b
{\displaystyle x\cdot a=b}
∀
a
,
b
∈
Q
.
{\displaystyle \forall a,b\in Q.}
Квазігрупа — одночасно права й ліва квазігрупи.
Лупа (петля) — квазігрупа з одиницею (унітарна квазігрупа ):
∃
e
∈
L
:
a
⋅
e
=
e
⋅
a
=
a
.
{\displaystyle \exists e\in L:\;a\cdot e=e\cdot a=a.}
Напівгрупа — асоціативний групоїд:
a
⋅
(
b
⋅
c
)
=
(
a
⋅
b
)
⋅
c
.
{\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.}
Моноїд — напівгрупа з одиницею (унітарна напівгрупа ).Група — моноїд з діленням або асоціативна лупа :
∀
a
∃
a
−
1
:
a
⋅
a
−
1
=
a
−
1
⋅
a
=
e
.
{\displaystyle \forall a\;\;\exists a^{-1}:\;\;a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e.}
Магма (М , *) називається
унітарною — якщо вона має нейтральний елемент ,
медіалом — якщо виконується xy * u zxu * y zлівим напів-медіалом — якщо виконується xx * y zxy * x z
правим напів-медіалом — якщо виконується yz * x xyx * z x
напів-медіалом — якщо вона є лівим та правим напів-медіалом одночасно,
дистрибутивною зліва — якщо виконується x yz = x yx z
дистрибутивною справа — якщо виконується yz * x yx * zx ,
автодистрибутивною — якщо вона є дистрибутивною зліва та справа одночасно,
комутативною — якщо виконується xy = yx ,ідемпотентною — якщо виконується xx = x ,юніпотентною — якщо виконується xx = yy ,
нульпотентною — якщо виконується xx * y = yy * x = xx ,
альтернативною — якщо виконується xx * y = x * xy та x * yy = xy * y ,степенево-альтернативною — якщо підмагма що утвориться буде асоціативною,
скорочуваною зліва — якщо виконується x yx zy = z
скорочуваною справа — якщо виконується yx = zx → y = z
скорочуваною — якщо вона є скорочуваною зліва та справа одночасно,
напівгрупою — якщо виконується x * yz = xy * z (асоціативність ),
напівгрупою з лівими нулями — якщо виконується x = xy ,
напівгрупою з правими нулями — якщо виконується x = yx ,
напівгрупою з нульовим множенням — якщо виконується xy = uv ,
унарною зліва — якщо виконується xy = xz ,
унарною справа — якщо виконується yx = zx .
Морфізм магм — це функція f:M → N , що відображає магму M на магму N , та зберігає бінарну операцію:
f
(
x
∗
M
y
)
=
f
(
x
)
∗
N
f
(
y
)
{\displaystyle f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)}
де
∗
M
{\displaystyle *_{M}}
∗
N
{\displaystyle *_{N}}
M та на N відповідно.
