Алгебра над полем

Алгебра над полем — векторний простір, на якому введено білінійне множення узгоджене з структурою векторного простору.

Алгебра над полем є одночасно векторним простором і кільцем, і ці структури узгоджені. Узагальненням цього поняття є алгебра над кільцем, яка, взагалі кажучи, є не векторним простором, а модулем над деяким кільцем.

Визначення

Нехай A — векторний простір над полем K , на якому визначена операція ${\displaystyle A\times A\to A}$, що називається множенням. Тоді A є алгеброю над K, якщо для будь-яких ${\displaystyle x,y,z\in A,\;a,b\in K}$ виконуються рівності:

• ${\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z}$
• ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$
• ${\displaystyle (ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)}$.

Ці три властивості означають, що операція множення є білінійною. У випадку алгебр з одиницею можна дати еквівалентне визначення:

Алгебра з одиницею над полем K — кільце з одиницею A, разом з гомоморфізмом кілець з одиницею ${\displaystyle f:K\to A}$, таким, що ${\displaystyle f(K)}$ належить центру кільця A (тобто множини елементів, що комутують по множенню з усіма іншими елементами). Після цього можна вважати, що A є векторним простором над K з наступною операцією множення на скаляр ${\displaystyle \alpha \in K}$: ${\displaystyle \alpha x=f(\alpha )\cdot x.}$

Алгебра називається асоціативною, якщо операція множення в ній асоціативна, алгеброю з одиницею — алгебра, в якій є нейтральний щодо множення елемент, комутативною — якщо операція множення в ній є комутативною.

Часто у визначенні алгебра явно вимагається асоціативність множення, тобто мається на увазі «асоціативна алгебра», проте є багато важливих прикладів неасоціативних алгебр.

Пов'язані визначення

• Гомоморфізм K-алгебр — відображення ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$, для якого виконуються рівності:

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$   для всіх   ${\displaystyle \lambda \in K,x\in A}$

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$   для всіх   ${\displaystyle x,y\in A}$

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$   для всіх   ${\displaystyle x,y\in A.}$

• Підалгебра алгебри над полем K — лінійний підпростір, для якого добуток будь-яких двох елементів з цього підпростору знову йому належить.
• Лівий ідеал K—алгебри — лінійний підпростір, замкнутий щодо множення зліва на довільний елемент алгебри. Відповідно, правий ідеал замкнутий щодо правого множення; двосторонній ідеал — ідеал, який є одночасно лівим і правим ідеалом. Єдина відмінність цього визначення від визначення ідеалу кільця, це вимога замкнутості щодо множення на елементи поля. У випадку алгебр з одиницею ця вимога виконується автоматично.
• Алгебра з діленням — алгебра над полем, така що для будь-яких її елементів ${\displaystyle a\neq 0}$ і ${\displaystyle b}$ рівняння ${\displaystyle ax=b}$ і ${\displaystyle ya=b}$ має розв'язок. Зокрема, асоціативна алгебра з діленням, що має одиницю, є тілом.
• Центр алгебри А — множина елементів ${\displaystyle a\in A}$, таких що ${\displaystyle xa=ax}$ для будь-якого елемента ${\displaystyle x\in A}$.

Приклади

Асоціативні алгебри

• Комплексні числа є двовимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
• Кватерніони є чотиривимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
• Попередні два приклади є полем і тілом відповідно, і це не випадково: будь-яка скінченновимірна алгебра над полем, що не має дільників нуля, є алгеброю з діленням. Дійсно, множення на x зліва є лінійним перетворенням цієї алгебри як векторного простору. у цього перетворення ядро рівне нулю (так як x не є дільником нуля), отже, воно сюр'ективним; зокрема, існує прообраз довільного елемента b, тобто такий елемент y, що xy = b. Друга умова доводиться аналогічно.
• Нульова алгебра в якій добуток двох елементів рівний нулю є прикладом асоціативної, комутативної алгебри без одиниці.
• Комутативна (і нескінченновимірна) алгебра многочленів K[x].
• Алгебри функцій, такі як алгебра дійсних неперервних функцій, визначених на інтервалі (0, 1) або алгебра голоморфних функцій, визначених на фіксованій відкритій підмножині комплексної площини єприкладами комутативних асоціативних алгебр з одиницею.
• Алгебри квадратних матриць і більш загально лінійних операторів на гільбертовому просторі є прикладами некомутативних асоціативних алгебр з одиницею.
• Групова алгебра ${\displaystyle K[G]}$ в якій елементи групи ${\displaystyle G}$ є базисом векторного поля ${\displaystyle K[G]}$, що є простором скінченних лінійних комбінацій елементів з ${\displaystyle G}$. На цьому просторі множення базисних елементів визначається множенням у групі, а на інші елементи вводиться лінійно. Отримана група є асоціативною групою з одиницею, яка є комутативною тоді і тільки тоді коли комутативною є група ${\displaystyle G}$.

Неасоціативні алгебри

• Алгебра октоніонів, або чисел Келі.
• Евклідів простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ з операцією векторного добутку, ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},+,\cdot ,\times )}$, є неасоціативною, антикомутативною ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-алгеброю розмірності 3 без одиниці.
• Загальні алгебри Лі. Зокрема простір квадратних матриць розмірності n ${\displaystyle \left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,[,]\right)}$ разом з операцією дужок Лі ${\displaystyle [M,N]=MN-NM}$ є неасоціативною, некомутативною алгеброю без одиниці.
• Алгебра Йордана.
• Алгебра Мальцева
• Альтернативні алгебри.

Структурні коефіцієнти

Множення в алгебрі над полем однозначно задається добутками базисних векторів. Таким чином, для задання скінченновимірної алгебри над полем K досить вказати її розмірність ${\displaystyle n}$, визначити деякий базис ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\ldots e_{n})}$ і подати «таблицю множення» — квадратну таблицю розмірів ${\displaystyle n\times n.}$ Також множення в алгебрі однозначно можна задати вказавши ${\displaystyle n^{3}}$ структурних коефіцієнтів ${\displaystyle c_{i,j}^{k}}$, що є елементами поля. Ці коефіцієнти визначаються з рівності:

${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j}^{k}e_{k}.}$

Різні множини структурних коефіцієнтів можуть відповідати ізоморфним алгебрам.

Якщо K є тільки комутативним кільцем, а не полем, цей опис можливий, тільки коли алгебра A є вільним модулем.

Приклад

Для розглянутої вище трьохвимірної алгебри з векторним добутком позначивши стандартну ортонормовану базу як (${\displaystyle {\vec {u}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$, ${\displaystyle {\vec {w}}}$) відповідна таблиця множення задається як:

	${\displaystyle {\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}}$
${\displaystyle {\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {u}}={\vec {0}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {w}}=-{\vec {v}}}$
${\displaystyle {\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {u}}=-{\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {v}}={\vec {0}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {w}}={\vec {u}}}$
${\displaystyle {\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\times {\vec {u}}={\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\times {\vec {v}}=-{\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\times {\vec {w}}={\vec {0}}}$

Структурні коефіцієнти визначені як: ${\displaystyle c_{1,2}^{3}=1,\;c_{1,3}^{2}=-1,\;c_{2,1}^{3}=-1,\;c_{2,3}^{1}=1,\;c_{3,1}^{2}=1,\;c_{3,2}^{1}=-1,}$ всі інші коефіцієнти рівні нулю.

Див. також

• Алгебра над кільцем
• Диференціальна алгебра
• Коалгебра

Джерела

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhailovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. - ISBN 1-4020-2690-0