Алгебра Йордана

Алгебра Йордана — алгебра над кільцем, в якій справедливі тотожності:

${\displaystyle \ xy=yx}$ — комутативність,

${\displaystyle \ (x^{2}y)x=x^{2}(yx)}$ — тотожність Йордана.

Такі алгебри вперше з'явилися в роботі Паскуаля Йордана, присвяченій аксіоматизації основ квантової механіки[1], а потім знайшли застосування в алгебрі, аналізі і геометрії.

Спеціальні алгебри Йордана

Нехай ${\displaystyle A}$ — асоціативна алгебра над полем характеристики ${\displaystyle \not =2}$. Якщо множення є комутативним, то алгебра буде алгеброю Йордана. Якщо ні, тоді множина ${\displaystyle A}$ з операціями додавання і йорданового множення

${\displaystyle a\circ b=(ab+ba)/2}$

утворює алгебру ${\displaystyle A^{+}}$, яка є алгеброю Йордана.

Алгебри, що є ізоморфними таким алгебрам і їх підалгебрам називаються спеціальними алгебрами Йордана. Згідно з теоремою Ширшова—Кона довільна алгебра Йордана з двома породжуючими елементами є спеціальною.

Проте клас спеціальних алгебр Йордана не є многовидом, тобто не задається тотожністю, оскільки спеціальні алгебри можуть мати неспеціальні гомоморфні образи. Проте, знайдено ряд тотожностей 8-го і 9-го степенів яким задовольняє довільна спеціальна алгебра Йордана і не задовольняють деякі неспеціальні алгебри, а також доведено, що такої тотожності степеня ${\displaystyle \leqslant 7}$ не існує.

Необхідна і достатня умова спеціальності алгебри: алгебра Йордана є спеціальною тоді і тільки тоді коли вона ізоморфно вкладається в алгебру Йордана, кожна зліченна підмножина якої лежить в підалгебрі, породженій двома елементами.

Приклади

1. Множина самоспряжених матриць з дійсними, комплексними, чи кватерніонними елементами і множенням

${\displaystyle \ (xy+yx)/2}$

утворює спеціальну алгебру Йордана.

2. Множина самоспряжених матриць розмірності 3×3 елементами яких є октоніони і множення визначається як

${\displaystyle \ (xy+yx)/2}$,

є неспеціальною алгеброю Йордана розмірності 27.

Примітки

1. P. Jordan, Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I , 41 (1933) pp. 209–217

Література

1. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 2./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
2. Jacobson, Nathan (1968), Structure and representations of Jordan algebras, American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXIX, Providence, R.I.: American Mathematical Society, Communications in Algebra 5 (13): 1375–1400
3. Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras, Springer, 2004, ISBN 9780387954479. Errata.
4. Richard D. Schafer, An introduction to nonassociative algebras, Courier Dover Publications, 1996, ISBN 9780486688138.
5. Springer, Tonny A. (1998), Jordan algebras and algebraic groups, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-63632-8