Дуальні числа

Дуальні числа (комплексні числа параболічного типу) — гіперкомплексні числа виду ${\displaystyle a+\varepsilon b}$, де ${\displaystyle a,b}$ — дійсні числа; ${\displaystyle \varepsilon }$ — уявна одиниця, така що ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$.

Множина всіх дуальних чисел утворює двовимірну комутативну асоціативну алгебру з одиницею над полем дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. На відміну від поля комплексних чисел, ця алгебра містить дільники нуля, причому всі вони мають вигляд ${\displaystyle a\varepsilon }$.

Дуальні числа — одна із двовимірних гіперкомплексних систем поряд з комплексними та подвійними числами.

Визначення

Алгебраїчне визначення

Дуальні числа — це пари дійсних чисел виду ${\displaystyle (a,\;b)}$, для яких визначені операції множення і додавання за правилами:

${\displaystyle \ (a_{1},\;b_{1})+(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+a_{2},\;b_{1}+b_{2})}$

${\displaystyle \ (a_{1},\;b_{1})*(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}$

Числа виду ${\displaystyle (a,\;0)}$ ототожнюються при цьому з дійсними числами, а число ${\displaystyle (0,\;1)}$ позначається ${\displaystyle \varepsilon }$, після чого визначаючі тотожності приймають вигляд:

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0,\quad (a,\;b)=a+b\varepsilon }$

${\displaystyle (a_{1}+\varepsilon b_{1})+(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}+a_{2})+\varepsilon (b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+\varepsilon b_{1})(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}a_{2})+\varepsilon (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Матричне представлення

Дуальні числа можна представити як матриці з дійсних чисел, при цьому додаванню дуальних чисел відповідає додавання матриць, а множенню чисел — множення матриць. Покладемо ${\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$. Тоді довільне дуальне число набуде вигляду

${\displaystyle a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$.

Показникова форма

Для експоненти з дуальним показником вірною є наступна рівність:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x}$

Дана формула дозволяє представити будь-який дуальне число в показниковій формі і знайти його логарифм по дійсній основі. Вона може бути доведена розкладанням експоненти в ряд Тейлора:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+{\frac {(\varepsilon x)^{2}}{2!}}+{\frac {(\varepsilon x)^{3}}{3!}}+\cdots }$

При цьому всі члени вище першого порядку дорівнюють нулю.

Корені

Корінь n-го ступеня з числа виду ${\displaystyle a+\varepsilon b}$ визначається як:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1}}}}}}$

Диференціювання

Дуальні числа дозволяють проводити автоматичне диференціювання функцій. Розглянемо для початку дійсний многочлен виду ${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\ldots +p_{n}x^{n}}$. Природно продовжити його область визначення з дійсних чисел на дуальні числа. Нескладно переконатися, що при цьому ${\displaystyle P(a+b\varepsilon )=P(a)+bP'(a)\varepsilon }$ — похідна многочлена ${\displaystyle P}$ по ${\displaystyle x}$. Після цього є природним продовжити область визначення всіх трансцендентних функцій на площину дуальних чисел за правилом ${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf'(a)\varepsilon }$, де ${\displaystyle f'}$ — похідна функції ${\displaystyle f}$. Таким чином, виконуючи обчислення не над дійсними, а над дуальним числами, можна автоматично отримувати значення похідної функції в точці. Особливо зручно розглядати таким чином композиції функцій.

Можна провести аналогію між дуальним числами і нестандартним аналізом. Уявна одиниця ε кільця дуальних чисел багато в чому подібна до нескінченно малого числа з нестандартного аналізу: будь-який степінь (вище першого) ${\displaystyle \varepsilon }$ у точності дорівнює 0, у той час як будь-який степінь нескінченно малого числа приблизно дорівнює 0 (є нескінченно малою більш високого порядку). Значить, якщо ${\displaystyle \delta }$ — нескінченно мале число, то з точністю до ${\displaystyle O(\delta ^{2})}$ гіпердійсні числа ізоморфні дуальним.

Див. також

• Бікватерніони

Література

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
• Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. — Москва : Физматгиз, 1963. — 192 с.(рос.)