Великі числа

Великі числа — числа, що значно більші, ніж ті, які зазвичай використовуються в повсякденному житті (наприклад, у простому рахунку чи грошових операціях), часто з’являються в таких областях, як математика, космологія, криптографія та статистична механіка.

Гугологія — розділ математики, об'єктами якого є великі числа і їх номенклатура[1][2]. Термін був утворений як комбінація слів «гугол» (класичне велике число) і «логос» (вчення).

Історія

III ст. до н. е. — Архімед у своїй праці «Псамміт» представив позначення, що дозволяє записувати числа до ${\displaystyle 10^{8\times 10^{16}}}$[3].

I століття — В буддистському священному тексті Аватамсака-сутра було згадано число ${\displaystyle \approx 10^{10^{32}}}$

1928 рік — Вільгельм Аккерман опублікував свою функцію.

1940 рік — Едвард Казнер описав числа гугол (${\displaystyle 10^{100}}$) та гуголплекс (${\displaystyle 10^{10^{100}}}$)[4].

1947 рік — Рубен Гудштейн дав найменування операцій тетрації (${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$), пентації (${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$) та гексації (${\displaystyle a\uparrow ^{4}b}$)[5].

1970 рік — С. Вайнер дав визначення швидкозростаючої ієрархії[6].

1976 рік — Дональд Кнут винайшов нотацію Кнута [7] (межа ${\displaystyle \omega }$ у термінології швидкозростаючої ієрархії).

1977 рік — М. Гарднер в журналі Scientific American описав число Грема[8] (${\displaystyle G=g(64)=f^{64}(4)}$, де ${\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3}$. Функція ${\displaystyle g(n)}$ має швидкість росту порядку ${\displaystyle \omega +1}$).

1983 рік — була винайдена нотація Штейнгауза — Мозера[9](межа ${\displaystyle \omega }$).

1995 рік — Д. Конвей винайшов ланцюгову стрілочну нотацію (межа ${\displaystyle \omega ^{2}}$).

2002 рік — Джонатан Бауерс опублікував свою нотацію масиву (межа ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$) і розширене позначення масиву (межа ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$). У 2007 році Бауерс визначив ще більше своєю дужою позначення BEAF (ця нотація добре визначена до ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ числа, що перевищують цей рівень, викликають суперечливість оцінок).

• Х. Фридман^[en] дав визначення функції TREE(n), що має швидкість зростання ${\displaystyle \theta (\Omega ^{\omega }\omega )}$.

2011 рік — С. Сайбіан (S. Saibian) запропонував гіпер-Е позначення (межа ${\displaystyle \omega }$), в 2013 році створену на її основі каскадну-Е позначення[10][11] (межа ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$) і в 2014 році розширену каскадну-Е позначення (межа ${\displaystyle \varphi (\omega ,0,0)}$).

Список гугологізмів

Математичні об'єкти, що мають відношення до гугології (зокрема великі числа), називаються гугологізмами. В даний час найменування дані для декількох тисяч чисел, переважаючих гугол. Нижче наведено список деяких гугологізмів та їх вираження в найбільш відомих нотаціях[12]. Перед виразом в тій нотації, в якій число було записано автором, стоїть знак рівності, вираження для того ж числа в інших нотаціях являють собою апроксимації.

Ім'я числа	Степінь десяти	нотація Кнута	нотація Конвея	нотація Бауерса	нотация Сайбиана	швидкозростаюча ієрархія
Гугол	${\displaystyle =10^{100}}$	${\displaystyle 10\uparrow 100}$	${\displaystyle 10\rightarrow 100}$	${\displaystyle \{10,100\}}$	${\displaystyle E100}$	${\displaystyle f_{2}(324)}$
Гуголплекс	${\displaystyle =10^{10^{100}}}$	${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow 100)}$	${\displaystyle 10\rightarrow (10\rightarrow 100)}$	${\displaystyle \{10,\{10,100\}\}}$	${\displaystyle E100\#2}$	${\displaystyle f_{2}^{2}(324)}$
Гиггол (Giggol)	${\displaystyle \underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} _{\text{100 десяток}}}$	${\displaystyle 10\uparrow ^{2}100}$	${\displaystyle 10\rightarrow 100\rightarrow 2}$	${\displaystyle =\{10,100,2\}}$	${\displaystyle E1\#100}$	${\displaystyle f_{3}(100)}$
Гаггол (Gaggol)	${\displaystyle \left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&{\text{10 десяток}}\end{matrix}}\right\}{\text{100 }}}$	${\displaystyle 10\uparrow ^{3}100}$	${\displaystyle 10\rightarrow 100\rightarrow 3}$	${\displaystyle =\{10,100,3\}}$	${\displaystyle E1\#1\#100}$	${\displaystyle f_{4}(100)}$
Бугол (Boogol)		${\displaystyle 10\uparrow ^{100}100}$	${\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 100}$	${\displaystyle =\{10,10,100\}}$	${\displaystyle E100\#\#100}$	${\displaystyle f_{101}(100)}$
Число Грема		${\displaystyle =\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&3\uparrow ^{4}3{\text{ стрілок}}\end{matrix}}\right\}{\text{64 }}}$	${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}$	${\displaystyle \{3,65,1,2\}}$	${\displaystyle E(3)3\#\#4\#64}$	${\displaystyle f_{\omega +1}(64)}$
Траддом (Traddom)[13]			${\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 4}$	${\displaystyle \{10,10,3,2\}}$	${\displaystyle E10\#\#10\#\#4}$	${\displaystyle =f_{\omega +3}(10)}$
Биггол (Biggol)			${\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 100}$	${\displaystyle =\{10,10,100,2\}}$	${\displaystyle E100\#\#100\#\#100}$	${\displaystyle f_{\omega .2}(100)}$
Трултом (Trultom)			${\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 11}$	${\displaystyle \{10,10,10,3\}}$	${\displaystyle E10\#\#\#4}$	${\displaystyle =f_{\omega .3}(10)}$
Тругол (Troogol)			${\displaystyle \underbrace {10\rightarrow 10\rightarrow \cdots \rightarrow 10} _{101\quad \rightarrow }}$	${\displaystyle =\{10,10,10,100\}}$	${\displaystyle E100\#\#\#100}$	${\displaystyle f_{\omega ^{2}}(100)}$

Числа наведені нижче знаходяться вже за межами застосування нотацій Кнута і Конвея.

Ім'я числа	Нотація Бауерса (BEAF)	Нотація Сайбіана	Швидкозростаюча ієрархія
Квадругол (Quadroogol)	${\displaystyle =\{10,10,10,10,100\}}$	${\displaystyle E100\#\#\#\#100}$	${\displaystyle f_{\omega ^{3}}(100)}$
Квадрексом (Quadrexom)	${\displaystyle \{10,10,10,10,10,10\}}$	${\displaystyle E10\#\#\#\#\#10}$	${\displaystyle =f_{\omega ^{4}}(10)}$
Квинтугол (Quintoogol)	${\displaystyle =\{10,10,10,10,10,100\}}$	${\displaystyle E100\#\#\#\#\#100}$	${\displaystyle f_{\omega ^{4}}(100)}$
Губол (Goobol)	${\displaystyle =\{10,100(1)2\}=}$ ${\displaystyle =\underbrace {\{10,10,10,\cdots ,10,10\}} _{100\quad {\text{десяток}}}}$	${\displaystyle E100\#^{99}100}$	${\displaystyle f_{\omega ^{98}}(100)}$
Бубол (Boobol)	${\displaystyle =\{10,10,100(1)2\}}$	E100#^#100##100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega }+99}(100)}$
Трубол (Troobol)	${\displaystyle =\{10,10,10,100(1)2\}}$	E100#^#100###101	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{2}}(100)}$
Квадрубол (Quadroobol)	${\displaystyle =\{10,10,10,10,100(1)2\}}$	E100#^#100####101	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{3}}(100)}$
Гутрол (Gootrol)	${\displaystyle =\{10,100(1)3\}}$	E100#^#100#^#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega }.2}(100)}$
Госсол (Gossol)	${\displaystyle =\{10,10(1)100\}}$	E100#^#*#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega +1}}(100)}$
Моссол (Mossol)	${\displaystyle =\{10,10(1)10,100\}}$	E100#^#*##100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega +2}}(100)}$
Боссол (Bossol)	${\displaystyle =\{10,10(1)10,10,100\}}$	E100#^#*###100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega +3}}(100)}$
Троссол (Trossol)	${\displaystyle =\{10,10(1)10,10,10,100\}}$	E100#^#*####100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega +4}}(100)}$
Дубол (Dubol)	${\displaystyle =\{10,100(1)(1)2\}}$	E100#^#*#^#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega .2}}(100)}$
Дутрол (Dutrol)	${\displaystyle =\{10,100(1)(1)3\}}$	E100#^#*#^#100#^#*#^#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega .2}.2}(100)}$
Колоссол (Colossol)	${\displaystyle =\{10,10(3)2\}}$	E10#^###10	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{3}}}(10)}$
Тероссол (Terossol)	${\displaystyle =\{10,10(4)2\}}$	E10#^####10	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{4}}}(10)}$
Петоссол (Petossol)	${\displaystyle =\{10,10(5)2\}}$	E10#^#####10	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{5}}}(10)}$
Гонгулус (Gongulus)	${\displaystyle =\{10,10(100)2\}}$	E10#^#^#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{100}}}(10)}$
Годтосол (Godtothol)	${\displaystyle \{100,100((1)1)2\}}$	=E100#^#^#^#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}}(100)}$
Годтопол (Godtopol)	${\displaystyle \{100,100(((1)1)1)2\}}$	=E100#^#^#^#^#^#100	${\displaystyle f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)}$
Годоктол (Godoctol)	${\displaystyle \{100,100((((0,1)1)1)1)2\}}$	=E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100	${\displaystyle f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)}$
Декотетром (Dekotetrom)	${\displaystyle X\uparrow ^{2}9\&10}$	E10#^^#10	${\displaystyle =f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)}$
Гоппатос (Goppatoth)	${\displaystyle =10\uparrow \uparrow 100\&10}$	E10#^^#101	${\displaystyle f_{\varepsilon _{0}}(101)}$
Тесракросс (Tethracross)	${\displaystyle X\uparrow ^{3}X^{2}\&100}$	=E100#^^##100	${\displaystyle f_{\zeta _{0}}(100)}$
Тесракубор (Tethracubor)	${\displaystyle X\uparrow ^{4}101\&100}$	=E100#^^###100	${\displaystyle f_{\eta _{0}}(100)}$
Тесратерон (Tethrateron)	${\displaystyle X\uparrow ^{5}101\&100}$	=E100#^^####100	${\displaystyle f_{\varphi (4,0)}(100)}$
Пентаксулум (Pentacthulhum)	${\displaystyle \{X,X,1,2\}\&100}$	=E100#^^^#100	${\displaystyle f_{\Gamma _{0}}(99)}$
Гексаксулум (Hexacthulhum)	${\displaystyle \{X,X,1,3\}\&100}$	=E100#^^^^#100	${\displaystyle f_{\varphi (2,0,0)}(99)}$
Годсгодгулус (Godsgodgulus)	${\displaystyle \{X,X,1,99\}\&100}$	=E100#^{100}^#100	${\displaystyle f_{\varphi (98,0,0)}(99)}$
TREE(3)			${\displaystyle f_{\theta (\Omega ^{\omega }\omega )}(3)}$

Див. також

• Швидкозростаюча ієрархія
• Число Грема

Примітки

1. One Million Things: A Visual Encyclopedia. New York, New York 10014, United States: DK Publishing. 2008. с. 286. ISBN 978-0-7566-3843-6.
2. Googology. Архів оригіналу за 11 жовтня 2016. Процитовано 10 жовтня 2016.
3. The Sand Reckoner (Arenario). Архів оригіналу за 7 серпня 2016. Процитовано 8 жовтня 2016.
4. Kasner, Edward; Newman, James R. (1940). Mathematics and the Imagination. Simon and Schuster, New York. ISBN 0-486-41703-4. Архів оригіналу за 3 липня 2014. Процитовано 10 жовтня 2016. The relevant passage about the googol and googolplex, attributing both of these names to Kasner's nine-year-old nephew, is available in James R. Newman, ред. (2000) [1956]. The world of mathematics, volume 3. Mineola, New York: Dover Publications. с. 2007—2010. ISBN 978-0-486-41151-4.
5. Goodstein, R. L. (1947).
6. Löb, M.H. and Wainer, S.S., "Hierarchies of Number Theoretic Functions I, II: A Correction, " Arch.
7. Knuth, D. E. (1976) «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness.» [Архівовано 24 серпня 2013 у Wayback Machine.]
8. Gardner, M. (1977) «Mathematical games: In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths» [Архівовано 19 жовтня 2013 у Wayback Machine.] Scientific American 237(5), 18-28. doi:10.1038/scientificamerican1177-18.
9. Steinhaus-Moser Notation — MathWorld. Архів оригіналу за 13 жовтня 2016. Процитовано 10 жовтня 2016. {{cite web}}: символ нерозривного пробілу в |title= на позиції 25 (довідка)
10. Sbiis, Saibian One to Infinity [Архівовано 13 жовтня 2016 у Wayback Machine.].
11. Cascading-E notation [Архівовано 13 жовтня 2016 у Wayback Machine.]. Проверено 9 октября 2016.
12. List of googologisms [Архівовано 21 листопада 2016 у Wayback Machine.]. Проверено 10 октября 2016.
13. Traddom. Архів оригіналу за 11 жовтня 2016. Процитовано 10 жовтня 2016.