Двовимірні гіперкомплексні числа

Двовимірні гіперкомплексні числа — гіперкомплексні числа з однією уявною одиницею.

Тобто числа виду ${\displaystyle \ a+bI,}$ де ${\displaystyle \ a,b}$ — дійсні числа; ${\displaystyle \ I}$  — уявна одиниця.

Визначимо операції:

• ${\displaystyle \ {\overline {a+bI}}\equiv a-bI}$ — спряжене число,
• ${\displaystyle \lVert z\rVert \equiv z{\bar {z}}={\bar {z}}z=a^{2}-b^{2}I^{2}}$ — норма числа,
• ${\displaystyle {z_{1} \over z_{2}}\equiv {z_{1}{\bar {z_{2}}} \over \lVert z_{2}\rVert }}$ — ділення чисел.

Формальне визначення

Двовимірні гіперкомплексі числа — двовимірні алгебри з одиницею над полем дійсних чисел.

Підвиди

Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.

Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд ${\displaystyle \ a+0I.}$

• ${\displaystyle \ (a_{1}+b_{1}I)+(a_{2}+b_{2}I)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})I}$ — додавання,
• ${\displaystyle \ (a_{1}+b_{1}I)\cdot (a_{2}+b_{2}I)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})I+b_{1}b_{2}I^{2}}$ — множення буде комутативним.

Залишилось тільки визначити, чому буде дорівнювати ${\displaystyle \ I^{2}.}$

Оскільки система має бути замкнута, то можемо позначити: ${\displaystyle \ I^{2}=p+qI,\quad p,q\in \mathbb {R} .}$

Розв'язуватимемо квадратне рівняння так, щоб зліва був повний квадрат, а справа тільки дійсна частина: ${\displaystyle \ (2I-q)^{2}=4p+q^{2}.}$

В залежності від знака правої частини отримаємо: ${\displaystyle {\begin{matrix}4p+q^{2}<0,&&4p+q^{2}\equiv -k^{2},&&i\equiv (2I-q)/k,&&i^{2}=-1;\\4p+q^{2}>0,&&4p+q^{2}\equiv +k^{2},&&j\equiv (2I-q)/k,&&j^{2}=+1;\\4p+q^{2}=0,&&&&\epsilon \equiv 2I-q,&&\epsilon ^{2}=0.\\\end{matrix}}}$

Множення

Отже, в залежності від випадку, замінивши ${\displaystyle \ I}$ на одну з одиниць ${\displaystyle \ i,j,\epsilon }$ отримаємо:

• ${\displaystyle \ (a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i}$ — комплексні числа,
• ${\displaystyle \ (a_{1}+b_{1}j)(a_{2}+b_{2}j)=(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})j}$ — подвійні числа,
• ${\displaystyle \ (a_{1}+b_{1}\epsilon )(a_{2}+b_{2}\epsilon )=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\epsilon }$ — дуальні числа.

Норма

• ${\displaystyle \lVert a+bi\rVert =a^{2}+b^{2},\qquad \lVert a+bj\rVert =a^{2}-b^{2},\qquad \lVert a+b\epsilon \rVert =a^{2}.}$

Для всіх підвидів виконується

• ${\displaystyle {\overline {z_{1}z_{2}}}={\bar {z_{2}}}\cdot {\bar {z_{1}}},}$
• ${\displaystyle \lVert z_{1}z_{2}\rVert =(z_{1}z_{2}){\overline {(z_{1}z_{2})}}=(z_{1}z_{2})({\bar {z_{2}}}{\bar {z_{1}}})=z_{1}(z_{2}{\bar {z_{2}}}){\bar {z_{1}}}=\lVert z_{1}\rVert \cdot \lVert z_{2}\rVert .}$

Ділення

• ${\displaystyle {a+bi \over c+di}={(ac+bd)+(bc-ad)i \over c^{2}+d^{2}}}$ — дільників нуля немає;
• ${\displaystyle {a+bj \over c+dj}={(ac-bd)+(bc-ad)j \over c^{2}-d^{2}}}$ — існують дільники нуля виду ${\displaystyle \ c\pm cj;}$
• ${\displaystyle {a+b\epsilon \over c+d\epsilon }={ac+(bc-ad)\epsilon \over c^{2}}}$ — існують дільники нуля виду ${\displaystyle \ 0+d\epsilon .}$

Матричне представлення

Кожній з уявних одиниць можна поставити у відповідність квадратну матрицю 2*2 яка є квадратним коренем ${\displaystyle -I}$, ${\displaystyle +I}$ та ${\displaystyle O}$ відповідно, і в неї нулі на головній діагоналі.

Зазвичай для ${\displaystyle 1,i,j}$ вибирають одиничну матрицю, матрицю повороту на ${\displaystyle \pi \over 2}$ та матриці Паулі ${\displaystyle \sigma _{1}}$:

${\displaystyle 1\mapsto {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\qquad \qquad i\mapsto {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\qquad \qquad j\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\qquad \qquad \epsilon \mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Відповідно:

${\displaystyle a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},\qquad a+bj\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\b&a\end{bmatrix}},\qquad a+b\epsilon \mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\0&a\end{bmatrix}}.}$

Така відповідність задає ізоморфізм, якщо додаванню та множенню гіперкомплексних чисел поставити у відповідність додавання та множення матриць.

В такому представлені:

• норма числа відповідає детермінанту матриці;
• спряження відповідає транспонуванню матриці.

Див. також

• Чотиривимірні гіперкомплексні числа

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)