Міра ірраціональності

Міра ірраціональності дійсного числа ${\displaystyle \alpha }$ — це дійсне число ${\displaystyle \mu }$, що показує, наскільки добре ${\displaystyle \alpha }$ можна наблизити раціональними числами.

Визначення

Нехай ${\displaystyle \alpha }$ — дійсне число, і нехай ${\displaystyle M(\alpha )}$ — множина всіх чисел ${\displaystyle \mu }$ таких, що нерівність ${\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$ має лише скінченне число розв'язків у цілих числах ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q>0}$:

${\displaystyle M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\;q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.}$

Тоді міра ірраціональності ${\displaystyle \mu (\alpha )}$ числа ${\displaystyle \alpha }$ визначається як точна нижня грань ${\displaystyle M(\alpha )}$:

${\displaystyle \mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).}$

Якщо ${\displaystyle M(\alpha )=\varnothing }$, то вважають ${\displaystyle \mu (\alpha )=+\infty }$.

Іншими словами, ${\displaystyle \mu }$ — найменше число, таке, що для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ для всіх раціональних наближень ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ з досить великим знаменником ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu +\varepsilon }}}}$.

Можливі значення міри ірраціональності

• ${\displaystyle \mu (\alpha )=1}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \alpha }$ — раціональне число.
• Якщо ${\displaystyle \alpha }$ — алгебричне ірраціональне число, то ${\displaystyle \mu (\alpha )=2}$.
• Якщо ${\displaystyle \alpha }$ — трансцендентне число, то ${\displaystyle \mu (\alpha )\geqslant 2}$. Зокрема, якщо ${\displaystyle \mu (\alpha )=+\infty }$, то число ${\displaystyle \alpha }$ називають числом Ліувілля.

Зв'язок з ланцюговими дробами

Якщо ${\displaystyle \alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots ]}$ — розклад числа ${\displaystyle \alpha }$ в ланцюговий дріб, і ${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$ — ${\displaystyle n}$-а відповідний ланцюговий дріб, то

${\displaystyle \mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.}$

За допомогою цієї формули особливо легко знайти міру ірраціональності для квадратичних ірраціональностей, оскільки розклади їх у ланцюгові дроби періодичні. Наприклад, для золотого перетину ${\displaystyle \varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots ]}$, і тоді ${\displaystyle \mu (\varphi )=2}$.

Теорема Туе — Зігеля — Рота

За лемою Діріхле, якщо ${\displaystyle \alpha }$ ірраціональні, то для будь-якого цілого q знайдеться ціле p таке, що ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$, тобто ${\displaystyle \mu (\alpha )\geqslant 2}$. 1844 року Ліувілль довів теорему про те, що для будь-якого алгебричного числа ${\displaystyle \alpha }$ мірою ${\displaystyle n}$ можна підібрати константу ${\displaystyle c=c(\alpha )}$ таку, що ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}}$. 1908 року Туе посилив цю оцінку. Подальші результати в цьому напрямку отримали Зігель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Найточнішу оцінку довів Рот у 1955 році. Отриману теорему називають теоремою Туе — Зігеля — Рота. Вона стверджує, що якщо ${\displaystyle \alpha }$ — алгебричне ірраціональне число, то ${\displaystyle \mu (\alpha )=2}$. Рот за її доведення отримав філдсівську премію.

Міра ірраціональності деяких трансцендентних чисел

Для майже всіх трансцендентних чисел міра ірраціональності дорівнює 2. Добре відомо, що ${\displaystyle \mu \left(e\right)=2}$, а також відомі числа Ліувілля, які за визначенням мають нескінченну міру ірраціональності. Однак для багатьох інших трансцендентних констант міра ірраціональності невідома, в кращому випадку, відома деяка оцінка зверху. Наприклад:

• ${\displaystyle \mu \left(e\right)=2}$
• ${\displaystyle \mu \left(\pi \right)\leqslant 7{,}103205334137}$[1]
• ${\displaystyle \mu \left(\pi ^{2}\right)\leqslant 5{,}162857}$[2]
• ${\displaystyle \mu \left({\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\right)\leqslant 4{,}230464}$[3]
• ${\displaystyle \mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391}$
• ${\displaystyle \mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891}$

Див. також

• Ірраціональні числа
• Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел
• Ланцюговий дріб

Примітки

1. Doron Zeilberger, Wadim Zudilin (2019). The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137. arxiv.org. Архів оригіналу за 17 жовтня 2020.
2. Zudilin W. Two hypergeometric tales and a new irrationality measure of ζ(2) [Архівовано 20 січня 2022 у Wayback Machine.], 2013.
3. В. А. Андросенко, Мера иррациональности числа π/√3, Изв. РАН. Сер. матем., 2015, том 79, выпуск 1, 3–20

Посилання

• Weisstein, Eric W. Irrationality Measure(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.