Число Ліувілля

Число Ліувілля — ірраціональне число ${\displaystyle x}$, яке можна наблизити раціональними числами так, що для будь-якого цілого ${\displaystyle n}$ існує нескінченно багато пар цілих ${\displaystyle (p,q)}$ (${\displaystyle q>1}$) таких, що:

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$.

Діофантове число[1] — ірраціональне число, яке в такий спосіб подати не можна, тобто при наближенні раціональним числом помилка становить не менше деякого степеня знаменника:

${\displaystyle \exists C,\alpha >0\colon \quad \forall p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \quad \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {C}{q^{\alpha }}}}$ .

За теоремою Ліувілля про наближення алгебричних чисел, будь-яке ірраціональне алгебричне число є діофантовим. Зокрема, будь-яке ліувіллеве число трансцендентне, що дозволяє явно будувати трансцендентні числа як суми надшвидко збіжних рядів раціональних чисел.

Діофантові числа є метрично типовими: їх множина має повну міру Лебега. Числа Ліувілля, навпаки, типові з топологічної точки зору: їх множина залишкова.

Міра ірраціональності чисел Ліувілля: ${\displaystyle \mu (x)=+\infty }$, крім того, якщо міра ірраціональності числа нескінченна, то воно ліувіллеве (іноді цю властивість приймають як визначення чисел Ліувілля).

Класичний приклад ліувіллевого числа — стала Ліувілля, яку визначають як:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0{,}1100010000000000000000010000\ldots }$

Примітки

1. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.