Нульова матриця

В лінійній алгебрі нульова матриця — матриця всі елементи якої рівні нулю. Приклади нульових матриць:

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\ }$

Визначення

Множина m×n матриць з елементами з кільця K утворює модуль ${\displaystyle K_{m,n}\,}$. Нульова матриця ${\displaystyle 0_{K_{m,n}}\,}$ in ${\displaystyle K_{m,n}\,}$ — матриця всі елементи якої рівні ${\displaystyle 0_{K}\,}$, де ${\displaystyle 0_{K}\,}$ — нульовий елемент кільця K.

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

Нульова матриця є адитивним одиничним елементом у ${\displaystyle K_{m,n}\,}$. Тобто для довільної матриці ${\displaystyle A\in K_{m,n}\,}$ виконується

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.}$

Нульова матриця є матрицею лінійного перетворення, що переводить довільний вектор у нульовий вектор.

Див. також

• Одинична матриця
• Матриця одиниць

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Zero Matrix(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.