Інтегральний логарифм — спеціальна функція , що визначається для дійсних
x
≠
1
,
{\displaystyle x\neq 1,}
l
i
(
x
)
=
∫
0
x
d
t
ln
t
.
{\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.\;}
x > 1 підінтегральна функція має в точці t=1 нескінченний розрив і інтегральний логарифм розуміється в сенсі головного значення:
l
i
(
x
)
=
lim
ε
→
0
+
(
∫
0
1
−
ε
d
t
ln
t
+
∫
1
+
ε
x
d
t
ln
t
)
.
{\displaystyle {\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).\;}
Інтегральний логарифм Також для усунення сингулярності в точці 1 іноді визначається зсунутий інтегральний логарифм :
L
i
(
x
)
=
∫
2
x
d
t
ln
t
.
{\displaystyle \mathrm {Li} \,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}
Між двома функціями справедлива рівність:
L
i
(
x
)
−
l
i
(
x
)
=
l
i
(
2
)
≈
1,045
163
780
117
492
…
{\displaystyle \mathrm {Li} \,(x)-\mathrm {li} \,(x)=\mathrm {li} \,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots }
l
i
(
x
)
≈
x
ln
(
1
/
x
)
{\displaystyle {\rm {li}}(x)\approx {\frac {x}{\ln(1/x)}}}
Ei(x) співвідношеннями:
li
(
x
)
=
Ei
(
ln
x
)
,
{\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!}
Інтегральний логарифм подається у вигляді ряду
l
i
(
x
)
=
E
i
(
ln
x
)
=
γ
+
ln
ln
x
+
∑
n
=
1
∞
(
ln
x
)
n
n
⋅
n
!
,
{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},}
де
γ
≈
0,577
215
664
901
532
…
{\displaystyle \gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots }
стала Ейлера ;
l
i
(
x
)
=
γ
+
ln
ln
x
+
x
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
ln
x
)
n
2
n
−
1
n
!
∑
k
=
0
⌊
(
n
−
1
)
/
2
⌋
1
2
k
+
1
.
{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{2^{n-1}n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}
Інтегральний логарифм має єдиний нуль в точці
μ
≈
1,451
369
234
883
381
050
283
968
485
892
027
449
493
…
{\displaystyle \mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots }
Як функція комплексної змінної z інтегральний логарифм можна визначити:
l
i
(
x
)
=
E
i
(
ln
x
)
=
γ
+
ln
(
−
ln
z
)
+
∑
n
=
1
∞
(
ln
z
)
n
n
⋅
n
!
,
{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln(-\ln z)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln z)^{n}}{n\cdot n!}},}
Інтегральний логарифм тоді буде однозначною аналітичною функцією в комплексній площині z з розрізами уздовж дійсної осі від -
∞
{\displaystyle \infty }
∞
{\displaystyle \infty }
π
{\displaystyle \pi }
π
{\displaystyle \pi }
Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у теорії чисел . Зокрема, згідно з теоремою про розподіл простих чисел :
π
(
x
)
∼
li
(
x
)
∼
Li
(
x
)
,
{\displaystyle \pi (x)\sim {\hbox{li}}(x)\sim {\hbox{Li}}(x),\,}
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
простих чисел менших або рівних x .
