商环

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。

定義

設${\displaystyle R}$為一環，${\displaystyle I\subset R}$為一雙邊理想。定義下述等價關係

${\displaystyle x\sim y\iff x-y\in I}$

令${\displaystyle R/I}$為其等價類的集合，其中的元素記作${\displaystyle a+I}$，其中${\displaystyle a}$是該元素在${\displaystyle R}$上任一代表元。我們可以在${\displaystyle R/I}$上定義環結構：

${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$

${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I)=ab+I}$

以上運算是明確定義的（在第二式中須用到${\displaystyle I}$是雙邊理想）。集合${\displaystyle R/I}$配合上述運算稱作${\displaystyle R}$對${\displaystyle I}$的商環。根據定義，商映射${\displaystyle R\rightarrow R/I,a\mapsto a+I}$是滿的環同態，${\displaystyle I}$為此同態的核。

如果${\displaystyle R}$含單位元${\displaystyle 1}$，則${\displaystyle 1+I}$是${\displaystyle R/I}$的單位元。

註：若條件弱化為${\displaystyle I}$是左（或右）理想，上述兩式仍可賦予集合${\displaystyle R/I}$左（或右）${\displaystyle R}$-模結構。

例子

• 最平凡的例子是${\displaystyle I=(0),I=R}$，此時分別得到${\displaystyle R/(0)=R,R/R=(0)}$。
• 取${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,I=n\mathbb {Z} }$，商環${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$可視為模運算的代數框架，其中的元素即模${\displaystyle n}$的剩餘類。
• 商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環${\displaystyle R=\mathbb {R} [X]}$，${\displaystyle I=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$，則商環${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$與複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$同構（考慮映射${\displaystyle f(X)+(X^{2}+1)\mapsto f(i)}$）。一般而言，設${\displaystyle F}$為一個域，${\displaystyle p(X)\in F[X]}$為${\displaystyle F}$上的不可約多項式，則商環${\displaystyle F[X]/p(X)}$的意義在於抽象地在${\displaystyle F}$上加進${\displaystyle p(X)}$的一個根。

性質

商環由下述泛性質唯一決定（至多差一個同構）：

設${\displaystyle \pi :R\rightarrow R/I}$為商同態；對任何環同態${\displaystyle \phi :R\rightarrow S}$，若 ${\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi )\supset I}$，則存在唯一的同態${\displaystyle \psi :R/I\rightarrow S}$，使得${\displaystyle \psi \circ \pi =\phi }$。

事實上，若更設${\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi )=(0)}$，則${\displaystyle \psi :R/I\rightarrow S}$是單射。準此，${\displaystyle R}$的同態像無非是${\displaystyle R}$的商環。

理想的性質常與其商環相關，例如當${\displaystyle R}$是交換含幺環時，${\displaystyle I}$是素理想（或極大理想）若且唯若${\displaystyle R/I}$是整環（或域）；${\displaystyle R}$中包含${\displaystyle I}$的理想一一對應於${\displaystyle R/I}$中的所有理想，此對應由商映射的逆像給出。

文獻

• Serge Lang, Algebra（2002）, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X