理想
環同態
代數結構
相關結構
代數數論
P進數
代數幾何
非交換代數幾何(英语:Noncommutative algebraic geometry)
自由代數(英语:Free algebra)
克利福德代數
在環論中,商環(或稱剩餘類環)是環對一個理想的商結構。
設 R {\displaystyle R} 為一環, I ⊂ ⊂ --> R {\displaystyle I\subset R} 為一雙邊理想。定義下述等價關係
令 R / I {\displaystyle R/I} 為其等價類的集合,其中的元素記作 a + I {\displaystyle a+I} ,其中 a {\displaystyle a} 是該元素在 R {\displaystyle R} 上任一代表元。我們可以在 R / I {\displaystyle R/I} 上定義環結構:
以上運算是明確定義的(在第二式中須用到 I {\displaystyle I} 是雙邊理想)。集合 R / I {\displaystyle R/I} 配合上述運算稱作 R {\displaystyle R} 對 I {\displaystyle I} 的商環。根據定義,商映射 R → → --> R / I , a ↦ ↦ --> a + I {\displaystyle R\rightarrow R/I,a\mapsto a+I} 是滿的環同態, I {\displaystyle I} 為此同態的核。
如果 R {\displaystyle R} 含單位元 1 {\displaystyle 1} ,則 1 + I {\displaystyle 1+I} 是 R / I {\displaystyle R/I} 的單位元。
註:若條件弱化為 I {\displaystyle I} 是左(或右)理想,上述兩式仍可賦予集合 R / I {\displaystyle R/I} 左(或右) R {\displaystyle R} -模結構。
商環由下述泛性質唯一決定(至多差一個同構):
事實上,若更設 K e r ( ϕ ϕ --> ) = ( 0 ) {\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi )=(0)} ,則 ψ ψ --> : R / I → → --> S {\displaystyle \psi :R/I\rightarrow S} 是單射。準此, R {\displaystyle R} 的同態像無非是 R {\displaystyle R} 的商環。
理想的性質常與其商環相關,例如當 R {\displaystyle R} 是交換含幺環時, I {\displaystyle I} 是素理想(或極大理想)若且唯若 R / I {\displaystyle R/I} 是整環(或域); R {\displaystyle R} 中包含 I {\displaystyle I} 的理想一一對應於 R / I {\displaystyle R/I} 中的所有理想,此對應由商映射的逆像給出。