在抽象代数中,一个群的交換子(commutator)或换位子是一个二元運算子。设g及h 是 群G中的元素,他們的交換子是g −1 h −1 gh,常記為[ g, h ]。只有当g和h符合交换律(即gh = hg)时他们的交换子才是这个群的单位元。
一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群,记作D(G)。
群論
群G中两个元素g和h的交换子为元素
- [g, h] = g−1h−1gh
它等于群的幺元当且仅当g和h可交换(即gh = hg)。
環論
环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为:
量子力學
量子力学中,经常用到对易关系(commutation relation),即
- ;
其中;、均为量子力学的算符,是其对易算符,也称交换子。
如果上式等于零,则称、是对易的,即意味着和两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的,运算顺序不可以调换。
量子力學中,交換子有以下特性:
量子力学中的各个力学量之间,常用的对易关系有:
以下,是位置算符、是动量算符、是角动量算符(包括轨道角动量、自旋角动量等),而是克罗内克δ、是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。
对易关系 |
更具体的形式
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、
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、、、
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、、
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正則對易關係
物理學中,正則對易關係是正則共軛的量之間的關係,這樣的量從定義可以發現:一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說:
上面的x與p分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量,而為所謂與的交換算符,是虛數單位,為約化普朗克常數,等於。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩,並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。
與古典力學的關係
相對於量子力學,古典物理中所有可觀測量都可對易(交換),而交換算符會是零;然而仍然有類似的關係存在:需將交換子換成泊松括號,且常數換成:
這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設:一般來說,古典的觀測量其量子對應項應滿足
- 。
於1927年,赫尔曼·外尔(Hermann Weyl)指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制,稱作魏爾量子化(Weyl quantization),為了一種稱作形變量子化(deformation quantization)的量子化方法提供了數學途徑。
延伸阅读
- Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976 [2020-04-07], ISBN 0-201-01984-1, (原始内容存档于2021-07-09)
- Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics 2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X
- Herstein, I. N., Topics In Algebra 2nd, John Wiley & Sons, 1975
- Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5
- McKay, Susan, Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes 18, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
- McMahon, D., Quantum Field Theory, USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
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