共轭类

数学上，特别是在群论中，群的元素可以分割成共轭类（英語：Conjugacy class）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性。非交换群的共轭类有很多关于該群的结构的重要特征。对于交换群，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个单元素集合。

在同一个共轭类上取常值的函数称为類函數。

定义

對於群 ${\displaystyle G}$ 中的元素 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle n}$ ， ${\displaystyle gng^{-1}}$ 稱為 ${\displaystyle n}$ 關於 ${\displaystyle g}$ 的共轭。類似地，對元素 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ ，如果存在元素 ${\displaystyle g}$ 使得 ${\displaystyle b=gag^{-1}}$ ，可以稱 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 共轭。

對由可逆矩陣構成的一般線性群 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ，共軛的元素（矩陣）稱為相似矩阵。

共轭是一種等价关系，因此可以 ${\displaystyle G}$ 分割为等价类。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类 ${\displaystyle \mathrm {Cl} (a)}$ 和 ${\displaystyle \mathrm {Cl} (b)}$ 相等当且仅当 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 共轭，否则不相交。）包含群 ${\displaystyle G}$ 中元素 ${\displaystyle a}$ 的等价类是

${\displaystyle \mathrm {Cl} (a)=\{gag^{-1}\mid g\in G\}}$

称为 ${\displaystyle a}$ 的共轭类。${\displaystyle G}$ 的类数是不同共轭类的个数。同一個共軛類中的元素的階相同。

例子

对称群${\displaystyle S_{3}}$，由所有3个元素的6个置换组成，拥有三个共轭类：

• 恒等 (abc -> abc)表示为(1)
• 对换 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
• 三阶轮换 (abc -> bca，abc -> cab)表示为(132) (123)

对称群${\displaystyle S_{4}}$，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：

• 恒等
• 对换
• 三阶轮换
• 四阶轮换
• 双对换

参看立方体的恰当转动，它可以用体对角线的枚举刻划。

• 在${\displaystyle n\times n}$矩陣，在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。

属性

• 单位元总是自成一类，也就是说${\displaystyle \mathrm {Cl} (e)=\{e\}}$。

• 若${\displaystyle G}$可交换，则${\displaystyle gag^{-1}=a}$对于所有${\displaystyle a}$和${\displaystyle g}$属于${\displaystyle G}$成立；所以${\displaystyle \mathrm {Cl} (a)=\{a\}}$对于${\displaystyle a}$属于${\displaystyle G}$成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。

• 若${\displaystyle G}$的两个元素${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的階。更一般地讲，每个关于${\displaystyle a}$的命题可以转换成关于${\displaystyle b=gag^{-1}}$的一个命题，因为映射${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$是一个${\displaystyle G}$的自同构。

• ${\displaystyle G}$的一个元素${\displaystyle a}$位于${\displaystyle G}$的中心${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$当且仅当其共轭类只有一个元素，${\displaystyle a}$本身。更一般地讲，若${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(a)}$代表${\displaystyle G}$中${\displaystyle \{a\}}$的中心化子，也即，有所有满足${\displaystyle ga=ag}$的元素${\displaystyle g}$组成的子群，则指数${\displaystyle [G:\mathrm {C} _{G}(a)]}$等于${\displaystyle a}$的共轭类中元素的个数。

共軛群作用

令 ${\displaystyle G}$ 為群，對任意 ${\displaystyle g,x\in G}$ ，定義 ${\displaystyle G}$ 關於自身的群作用

${\displaystyle g\cdot x=gxg^{-1}}$ 。

${\displaystyle x}$ 在作用 ${\displaystyle G}$ 上的軌道是其在群 ${\displaystyle G}$ 中的共軛類。元素 ${\displaystyle x}$ 的穩定子群等於該元素的中心化子。

類似地，我們可以令 ${\displaystyle G}$ 作用在 ${\displaystyle G}$ 的所有子集構成的集合，有

${\displaystyle g\cdot S=gSg^{-1}=\{gsg^{-1}\mid s\in S\}}$ 。

又或者是作用在 ${\displaystyle G}$ 的子群構成的集合。

共轭类方程

若 ${\displaystyle G}$ 为有限群，對 ${\displaystyle G}$ 的任意元素 ${\displaystyle a}$ ，其共軛類中的元素可以與中心化子 ${\displaystyle C_{G}(a)}$ 的陪集一一對應。因為同一陪集的任意兩元素 ${\displaystyle b}$ 和 ${\displaystyle c}$ （存在 ${\displaystyle z\in C_{G}(a)}$ 使得 ${\displaystyle b=cz}$ ）對 ${\displaystyle a}$ 的共軛相同：

${\displaystyle bab^{-1}=(cz)a(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}}$ 。

由於 ${\displaystyle a}$ 在 ${\displaystyle G}$ 上的軌道等於其共軛類，其穩定子群等於其中心化子，上述結論亦可以由軌道-穩定化子定理給出。

${\displaystyle z}$ 的共轭类的元素个数等於它的中心化子的指數 ${\displaystyle [G:C_{G}(z)]}$ ，因而整除 ${\displaystyle G}$ 的階。

进一步的有，对于任何群 ${\displaystyle G}$ ，从 ${\displaystyle G}$ 的每个元素个数大於 ${\displaystyle 1}$ 的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集 ${\displaystyle S=\{x_{i}\}}$ 。则 ${\displaystyle G}$ 是群的中心 ${\displaystyle Z(G)}$ 以及 ${\displaystyle S}$ 中所有元素的共轭类 ${\displaystyle Cl(x_{i})}$ 的不交并集。由此可得群論中重要的类方程：

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}[G:C_{G}(x_{i})]}$

其中求和取遍对于每个 ${\displaystyle S}$ 中的 ${\displaystyle x_{i}}$ 的 ${\displaystyle H_{i}=C_{G}(x_{i})}$ 。注意 ${\displaystyle [G:H_{i}]}$ 是 ${\displaystyle x_{i}}$ 的共軛類的元素个数。该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

例子

考虑一个有限的 p-群 ${\displaystyle G}$ （即元素數目为 ${\displaystyle p^{n}}$ 的群，其中 ${\displaystyle p}$ 是一个质数且 ${\displaystyle n>0}$ ）。我们将证明：每个有限p-群有非平凡的中心。

因为 ${\displaystyle G}$ 的任意子群的指數必须整除 ${\displaystyle G}$ 的次数，所以每个 ${\displaystyle H_{i}}$ 等於 ${\displaystyle p}$ 的一個幂 ${\displaystyle p^{k_{i}}}$ ， ${\displaystyle k_{i}>0}$ 。类方程給出

${\displaystyle p^{n}=|G|=|Z(G)|+\sum _{i}p^{k_{i}}}$

由於 ${\displaystyle p}$ 整除 ${\displaystyle \sum _{i}p^{k_{i}}}$ 和 ${\displaystyle |G|}$ ， ${\displaystyle p}$ 必须整除 ${\displaystyle |Z(G)|}$ ，所以 ${\displaystyle |Z(G)|>1}$。

子群和一般子集的共轭

更一般的来讲，给定任意G的子集S（S不必是子群），我们定义一个G的子集T为S的共轭，当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg^−1。我们可以定义Cl(S)为所有共轭于S的子集T的集合。

一个常用的定理是，给定任意子集S，N(S)（S的正规化子）的指数等于Cl(S)的次数：

|Cl(S)| = [G : N(S)]

这是因为，如果g和h属于G，则gSg^−1 = hSh^−1当且仅当gh^−1属于N(S)，换句话说，当且仅当g和h属于N(S)的同一个陪集。

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（S = {a}的特殊情况）。

上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。

作为群作用的共轭类

如果对于任意两个G中的元素g和x定义

g.x = gxg^−1

则我们有了一个G在G上的群作用。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样，我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg^−1。

参看

• 群
• 群作用
• 中心化子和正规化子

参考

• Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-36879-2
• Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-43334-9
• Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X