原根(英語:Primitive root)是一个在数论中的重要概念,特别是整除理论。
對於两个正整数,由欧拉定理可知,存在正整数, 比如说欧拉函数,即小于等于的正整数中与互質的正整数的个数,使得。
由此,在時,定義对模的指数為使成立的最小的正整数。由前知 一定小于等于 ,若,則稱是模的原根。
例子
考慮 ,则 。
设 ,由于
因此有,所以 2 不是模 7 的一个原根。
设 ,由于
因此有 ,所以 3 是模 7 的一个原根[1]。
性质
- 可以证明,如果正整数和正整数 d 满足,则 整除 d。[2]因此整除。在例子中,当时,我们仅需要验证 3 的 2、3 次方模 7 的余数即可,如果其中有一个是1,则3就不是原根。
- 记,则模 m 两两不同余。因此当是模的原根时,构成模 m 的简化剩余系。
- 模有原根的充要條件是,其中是奇質數,是任意正整數。
- 对正整数,如果 a 是模 m 的原根,那么 a 是整数模m乘法群(即加法群 Z/mZ 的可逆元,也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群)Zm×的一个生成元。由于Zm×有 个元素,而它的生成元的个数就是它的可逆元个数,即 个,因此当模有原根時,它有個原根。
一些數的原根列表
m
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模m的原根(有*號的數沒有原根,此時是有最大模m週期的數)
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週期 ( A002322)
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1
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0
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1
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2
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1
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1
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3
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2
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2
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4
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3
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2
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5
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2, 3
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4
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6
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5
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2
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7
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3, 5
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6
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8*
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3, 5, 7
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2
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9
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2, 5
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6
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10
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3, 7
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4
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11
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2, 6, 7, 8
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10
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12*
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5, 7, 11
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2
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13
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2, 6, 7, 11
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12
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14
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3, 5
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6
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15*
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2, 7, 8, 13
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4
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16*
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3, 5, 11, 13
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4
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17
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3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14
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16
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18
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5, 11
|
6
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19
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2, 3, 10, 13, 14, 15
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18
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20*
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3, 7, 13, 17
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4
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21*
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2, 5, 10, 11, 17, 19
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6
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22
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7, 13, 17, 19
|
10
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23
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5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21
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22
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24*
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5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
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2
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25
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2, 3, 8, 12, 13, 17, 22, 23
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20
|
26
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7, 11, 15, 19
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12
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27
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2, 5, 11, 14, 20, 23
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18
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28*
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3, 5, 11, 17, 19, 23
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6
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29
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2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27
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28
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30*
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7, 13, 17, 23
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4
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31
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3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24
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30
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32*
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3, 5, 11, 13, 19, 21, 27, 29
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8
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33*
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2, 5, 7, 8, 13, 14, 17, 19, 20, 26, 28, 29
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10
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34
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3, 5, 7, 11, 23, 27, 29, 31
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16
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35*
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2, 3, 12, 17, 18, 23, 32, 33
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12
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36*
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5, 7, 11, 23, 29, 31
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6
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除了直接運算以外,至今還沒有一個辦法可以找到模特定m時的原根,但假如已知模m有一個原根,則可找出它其他的原根。
最小原根
模 p 的最小原根 g p 定義為在 1 到 p-1 中最小的原根。數學家已經給出最小原根的上界及下界的一些限制。
伯吉斯(1962)證明對任何 ε>0,存在一個 C>0,使得
。
Emil Grosswald (1981) 證明如果 ,則 。
参考资料及注释
參見
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