余数

在算术中，当两个整数相除的结果不能以整数商表示时，余数便是其“餘留下的量”。当余数为零时，被称为整除。

自然数的余数

如果 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle d}$ 是两个自然数，${\displaystyle d}$ 非0，可以证明存在两个唯一的整数 ${\displaystyle q}$ 和 ${\displaystyle r}$ ，满足 ${\displaystyle a=q*d+r}$ 且 ${\displaystyle 0\leq r<d}$ 。其中， ${\displaystyle q}$ 被称为商數， ${\displaystyle r}$ 被称为余数。带余除法是一个关于如何计算余数的算法，其中提供了对此结果的证明。

例子

• 13除以10，商为1，余数为3，${\displaystyle 13=1*10+3}$或${\displaystyle 13\div 10=1\dots 3}$。
• 26除以4，商为6，余数为2，${\displaystyle 26=6*4+2}$或${\displaystyle 26\div 4=6\dots 2}$。
• 56除以7，商为8，余数为0，${\displaystyle 56=8*7+0}$或${\displaystyle 56\div 7=8\dots 0}$。
• 9除以10，商为0，余数为9，${\displaystyle 9=0*10+9}$或${\displaystyle 9\div 10=0\dots 9}$。

一般整数的余数

如果 ${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle d}$ 是整数，${\displaystyle d}$ 非零，那么余数 ${\displaystyle r}$ 满足这样的关系：

${\displaystyle a=qd+r}$ , ${\displaystyle q}$ 为整数，且${\displaystyle 0\leq \left\vert r\right\vert <\left\vert d\right\vert }$。

当这样定义时，可能导致两种可能的余数。例如，除法式子${\displaystyle {\frac {-42}{-5}}}$的可以表达为

${\displaystyle -42=9\times (-5)+3}$（在数学工作者中使用较多）

或

${\displaystyle -42=8\times (-5)+(-2)}$.

即余数可能是3或−2。

这种对余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于處理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。在一些組合語言系統中，會有特殊的除法指令，設定余数和被除數同號。

在上面的例子，负余数为正余数减5得来，5即是除数 ${\displaystyle d}$ 。通常，当除以 ${\displaystyle d}$ 时，如果正余数为${\displaystyle r_{1}}$，负余数为${\displaystyle r_{2}}$，那么

${\displaystyle r_{2}=r_{1}+d}$。

Python 2.7语言定义的除法中，不能整除的情况下，余数与除数同号，例如${\displaystyle {\frac {-42}{-5}}}$表达为

${\displaystyle -42=8\times (-5)+(-2)}$

而 ${\displaystyle {\frac {42}{-5}}}$ 则表达为

${\displaystyle 42=(-9)\times (-5)+(-3)}$

实数的余数

当 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle d}$ 是实数，且 ${\displaystyle d}$ 非零，${\displaystyle a}$ 除以 ${\displaystyle d}$ 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数.但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商 ${\displaystyle q}$ 和唯一的实数r 使得：${\displaystyle a=qd+r}$, ${\displaystyle 0\leq r<\left\vert d\right\vert }$。在整数除法裡，余数可以要求为负，即满足关系：${\displaystyle -\left\vert d\right\vert <r\leq 0}$。

如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要；尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义—参同餘。

参见

• 整除
• 中国剩余定理
• 同余
• 輾轉相除法