局部域

在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。

非阿基米德局部域

設${\displaystyle F}$為非阿基米德局部域，而${\displaystyle |\cdot |}$為其絕對值。關鍵在下述對象：

• 閉單位球：${\displaystyle \{a\in F:|a|\leq 1\}}$，或其整數環${\displaystyle {\mathcal {O}}}$，這是個緊集。
• 整數環裡的單位元素：${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}$
• 開單位球：${\displaystyle \{a\in F:|a|<1\}}$，這同時是其整數環裡唯一的極大理想，也記作${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$。

上述對象與賦值環的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數${\displaystyle 0<c<1}$及離散賦值${\displaystyle v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z} }$，使得

${\displaystyle \forall a\in F\;c^{v(a)}=|a|}$.

可取唯一的${\displaystyle c}$使得${\displaystyle v}$為滿射，稱之為正規化賦值。

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域${\displaystyle F}$，帶離散賦值${\displaystyle v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z} }$，使得${\displaystyle F}$成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由局部類域論描述。

分類

局部域的完整分類如次：

• ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }$。這些是阿基米德局部域。
• p進數域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。
• ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((T))}$的有限擴張（其中${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$表有q個元素的有限域）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。

文獻

• Milne, James, Algebraic Number Theory.
• Serre, Jean-Pierre. Corps locaux. Hermann. 1968.