同构基本定理
同构基本定理,或称同态基本定理、同型定理(英語:Isomorphism theorems),包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。 历史同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。 群同構基本定理群论中的同构基本定理形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。 群同構第一定理給定一個群同態 ,根據群同態第一基本定理,我們可以把除以的核,使 變成單射。 直觀來講,把一個群除以的子群相當於把裡的元素看成0(一元素)。把的核除掉後,我們使得只在 時才會成立,這是的單射性的等價敘述。 我們必須先確定商群具有群的結構,才可以對進行討論。
我們有。由於在裡面,即,我們推論。因此,在裡面,故是的正規子群。
我們有以下的定理: 群同構第一定理 給定和兩個群,群同態,則誘導出一個從打到的群同構。
這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合,以下為示意圖 群同構第二定理群同構第二定理: 給定群 、其正規子群 、其子群 ,則 是 的正規子群,且我們有群同構如下: 證明:
設 和 為 中的兩個元素。我們有 ,其中 , (因為 在 中正規) 且 ,故 在 中,其證明了 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。 此外,我們有 的包含關係,並且 在 中正規,所以也在 中正規。
取 單射群同態,定義為 , 取標準滿射 (值域是個群,因為 在 中正規)。藉由複合兩個群同態,我們建構出一個新的群同態 定義為 。
理由是,設 ,其中 且 。由於 在 裡面, ,故。
理由是, 是 的單位元,即 若且唯若, 在 裡面。由於 已經在 裡面,所以證明這個相當於證明 在 裡面。
群同構第三定理群同構第三定理: 給定群 , 和 為 的正規子群,滿足 包含於 ,則 是 的正規子群,且有如下的群同構: 證明: 為滿射,其核為 所以可由群同構第一定理得到 环和模上的形式
推广在泛代数中,正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。 第一同构定理设A和B是两个代数结构,f是A到B的态射,则A等价关系:a~b当且仅当f(a)=f(b) 是A上的一个同余类,并且A/同构于f的像(B的子代数)。 第二同构定理设B是A的子代数,是A上的同余类。令[B]是所有包含B种元素的同余类的集合,它是A/的一个子集;是限制在 B × B上的部分。那么[B]是A/的子代数结构,是B上的同余类,并且[B]同构于B/。 第三同构定理设A是一个代数结构,和是A上的两个同余关系,包含于。则定义了A/上的一个同余类:[a]~[b]当且仅当a与b关于 同余([a]表示a所在的-等价类),并且A/同构于(A/)/。 |