局部環

在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換環。

局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 Stellenringe，英譯 local ring 源自扎裡斯基。

定義

設 ${\displaystyle R}$ 為交換含幺環。若 ${\displaystyle R}$ 僅有一個極大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$，則稱 ${\displaystyle R}$（或 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$）為局部環。域 ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ 稱為 ${\displaystyle R}$ 的剩餘域。

若 ${\displaystyle R}$ 中僅有有限個極大理想，則稱之為半局部環。

一個局部環 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ 上帶有一個自然的 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-進拓撲，使得 ${\displaystyle R}$ 成為拓撲環；其開集由 ${\displaystyle \{{\mathfrak {m}}^{i}:i\geq 0\}}$ 生成。當 ${\displaystyle R}$ 為諾特環時，可證明 ${\displaystyle R}$ 為豪斯多夫空間，且所有理想皆是閉理想。

設 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}),(S,{\mathfrak {n}})}$ 為局部環，環同態 ${\displaystyle \phi :R\rightarrow S}$ 被稱為局部同態，若且唯若 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\phi ^{-1}({\mathfrak {n}})}$。

例子

• 域是局部環。
• 形式冪級數環 ${\displaystyle k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}$ 是局部環，其中 ${\displaystyle k}$ 是個域。極大理想是 ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$。
• 取係數在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 上，原點附近收斂半徑為正的冪級數，它構成一個局部環，極大理想表法同上。
• 凡賦值環皆為局部環。
• 設 ${\displaystyle R}$ 為任意交換環， ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 為素理想，則相應的局部化 ${\displaystyle (R_{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})}$ 是局部環；這也是局部環應用的主要場合。若 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {p}})}$ 已是局部環，則 ${\displaystyle R{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}R_{\mathfrak {p}}}$。
• 局部環的商環仍是局部環。

動機與幾何詮釋

局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設 ${\displaystyle X}$ 為拓撲空間，${\displaystyle F:=\mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$，且${\displaystyle x\in X}$。考慮所有資料 ${\displaystyle (f,U)}$，其中 ${\displaystyle U}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的一個開鄰域，而 ${\displaystyle f:U\rightarrow F}$ 是連續函數。引入等價關係：

${\displaystyle (f,U)\sim (g,V)\iff \exists W\subset U\cap V,\;f|_{W}=g|_{W}}$ 且 ${\displaystyle W}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的開鄰域。

換言之，若兩個函數在 ${\displaystyle x}$ 附近一致，則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環 ${\displaystyle \Gamma _{x}}$，其元素稱作在 ${\displaystyle x}$ 的連續函數芽，它體現了連續函數在 ${\displaystyle x}$ 附近的行為。若 ${\displaystyle s\in \Gamma _{x}}$ 滿足 ${\displaystyle s(x)\neq 0}$ ，則存在一個 ${\displaystyle x}$ 的開鄰域 ${\displaystyle U}$ 及連續函數 ${\displaystyle f:U\rightarrow F}$，使得 ${\displaystyle [f,U]=s}$ 且 ${\displaystyle f}$ 恆非零，因此可定義乘法逆元 ${\displaystyle 1/s:=[1/f,U]}$。於是 ${\displaystyle \Gamma _{x}}$ 是局部環，其唯一的極大理想是所有在 ${\displaystyle x}$ 點取零的函數，剩餘域則是 ${\displaystyle F}$。

類似想法可施於微分流形、解析流形或複流形，稍作修改後亦可推廣至代數簇與概形。

在代數幾何與複幾何中，假設適當的有限性條件（例如凝聚性）， 若一陳述對某一點的芽成立，則在該點的某個開鄰域上皆成立；就此而論，局部環集中表現了一點附近的局部性質。

在交換代數中，局部化的技術往往可將問題化約到局部環上；因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。

非交換的情形

一個含么環 ${\displaystyle R}$ 被稱作局部環，若且唯若它滿足下述等價條件：

• R 僅有一個極大左理想。
• R 僅有一個極大右理想。
• ${\displaystyle 1\neq 0\in R}$，且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。
• ${\displaystyle 1\neq 0\in R}$，且對任何元素 ${\displaystyle x}$，${\displaystyle x}$ 或 ${\displaystyle 1-x}$ 必有一者可逆。
• ${\displaystyle 1\neq 0\in R}$，若 ${\displaystyle R}$ 中某個有限和是可逆元，則其中某項必可逆。

當上述任一性質成立，則下述三者等同：

• R 的唯一極大左理想
• R 的唯一極大右理想
• R 的 Jacobson根

對於交換環，上述定義化為交換局部環的原始定義。

文獻

• V.I. Danilov, Local ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• H. Matsumura, Commutative algebra (1970), ISBN 0-8053-7026-9