正則變換

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。

在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。

定義

點變換（point transformation）將廣義坐標${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})}$變換成廣義坐標${\displaystyle \mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})}$，點變換方程式的形式為

${\displaystyle q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N}$；

其中，${\displaystyle t}$是時間。

在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})}$同樣地都是自變量（independent variable），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為

${\displaystyle q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N}$，

${\displaystyle p_{i}=p_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})}$是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$變換為一組新的正則坐標${\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}}$，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}}$；

新的哈密頓方程式為

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}}$，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}}$；

其中，${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$、${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處

思考一個物理系統的哈密頓量

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$。

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標${\displaystyle q_{i}}$無關，則稱${\displaystyle q_{i}}$為可略坐標（ignorable coordinate），或循環坐標（cyclic coordinate）：

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0}$。

在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0}$。

所以，廣義動量${\displaystyle p_{i}}$是常數${\displaystyle k_{i}}$。

假設一個系統裏有${\displaystyle n}$個廣義坐標是可略坐標。找出這${\displaystyle n}$個可略坐標，則可以使這系統減少${\displaystyle 2n}$個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函數方法

主項目：正則變換生成函數

採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ {\mathcal {H}})}$變換到${\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ {\mathcal {K}})}$。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]dt=0}$、

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\right]dt=0}$。

那麼，必須令

${\displaystyle \sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)+{\frac {dG}{dt}}}$；

其中，${\displaystyle \sigma }$是標度因子，${\displaystyle G}$是生成函數。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（scale transformation）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（extended canonical transformation）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個${\displaystyle \sigma \neq 1}$的延伸正則變換表示為

${\displaystyle \sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}\right]=\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}}}$。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量： ${\displaystyle \mathbf {Q} =\alpha \mathbf {Q} '}$、 ${\displaystyle \mathbf {P} =\beta \mathbf {P} '}$、 ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\alpha \beta {\mathcal {K}}\,'}$、 ${\displaystyle G=\alpha \beta G\,'}$；其中，${\displaystyle \alpha ,\ \beta }$是用來刪除${\displaystyle \sigma }$的常數，${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\alpha \beta }}}$。經過一番運算，可以得到

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}=\alpha {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {P} '}}=\alpha {\dot {\mathbf {Q} }}'={\dot {\mathbf {Q} }}}$、

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=\beta {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {Q} '}}=-\beta {\dot {\mathbf {P} }}'=-{\dot {\mathbf {P} }}}$、

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\alpha \beta (\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}})=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}}$。（1）

顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（restricted canonical transformation）。

生成函數${\displaystyle G}$的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$保證是正則變換。

第一型生成函數

第一型生成函數${\displaystyle G_{1}}$只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

${\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$。

代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$。

新廣義坐標${\displaystyle \mathbf {Q} }$和舊廣義坐標${\displaystyle \mathbf {q} }$都是自變量，其對於時間的全導數${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}}$和${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}$互相無關，所以，以下${\displaystyle 2N+1}$個方程式都必須成立：

${\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}}$，（2）

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$，（3）

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$。（4）

這${\displaystyle 2N+1}$個方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$，步驟如下：

第一組的${\displaystyle N}$個方程式（2），設定了${\displaystyle \mathbf {p} }$的${\displaystyle N}$個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出${\displaystyle \mathbf {Q} }$的${\displaystyle N}$個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$。（5）

第二組的${\displaystyle N}$個方程式（3），設定了${\displaystyle \mathbf {P} }$的${\displaystyle N}$個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$。

代入函數方程式（5），可以算出${\displaystyle \mathbf {P} }$的${\displaystyle N}$個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$。（6）

從${\displaystyle 2N}$個函數方程式（5）、（6），可以逆算出${\displaystyle 2N}$個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$，

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$。

代入新哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {K}}}$的方程式（4），可以得到

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$。

第二型生成函數

第二型生成函數${\displaystyle G_{2}}$的參數是舊廣義坐標${\displaystyle \mathbf {q} }$、新廣義動量${\displaystyle \mathbf {P} }$ 與時間：

${\displaystyle G=-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$；

以下${\displaystyle 2N+1}$方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$：

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$，　

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$。

第三型生成函數

第三型生成函數${\displaystyle G_{3}}$ 的參數是舊廣義動量${\displaystyle \mathbf {p} }$、新廣義坐標${\displaystyle \mathbf {Q} }$與時間：

${\displaystyle G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$。

以下${\displaystyle 2N+1}$方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$：

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$，

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$。

第四型生成函數

第四型生成函數${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$的參數是舊廣義動量${\displaystyle \mathbf {p} }$、新廣義動量${\displaystyle \mathbf {P} }$與時間：

${\displaystyle G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$。

以下${\displaystyle 2N+1}$方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$：

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$，

${\displaystyle \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$。

實例1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

${\displaystyle G_{1}=\mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$。

生成函數的導數分別為

${\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} }$，

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} }$。

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$。

實例2

再擧一個比較複雜的例子。讓

${\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P} }$；

這裏，${\displaystyle \mathbf {g} }$是一組${\displaystyle N}$個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)}$。

不變量

正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。

辛條件

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個${\displaystyle 2N\times 1}$的豎矩陣${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ :

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]}$。

變數向量${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$將${\displaystyle \mathbf {q} }$與${\displaystyle \mathbf {p} }$包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$；

這裏，${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$是辛連結矩陣、${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$改變成新正則坐標${\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}}$；哈密頓量也從舊的哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {H}}}$改變成新的哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {K}}}$，${\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}}$；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}}$；

這裏，${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {dG}{dt}}+\mathbf {P} {\dot {\mathbf {Q} }}-\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}}$。

用第一型生成函數${\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$，則${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$。

取${\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}={\boldsymbol {\Xi }}({\boldsymbol {\xi }},\ t)}$關於時間${\displaystyle t}$的導數，

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}=\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}}$；

這裏，${\displaystyle \mathbf {M} }$是亞可比矩陣，${\displaystyle M_{ij}={\frac {\partial \Xi _{i}}{\partial \xi _{j}}}}$。

代入哈密頓方程式，

${\displaystyle \mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}+{\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}\ \partial t}}}$ ;

假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案[1]，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為

${\displaystyle \mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}}$。

而${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {\xi }})}$，所以，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=-(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}{\dot {\boldsymbol {\xi }}}}$。

代回前一個方程式，取${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}}$的係數，則可以得到

${\displaystyle \mathbf {M} =-{\boldsymbol {\Omega }}(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}}$。

經過一番運算，

${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}=-{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}{\boldsymbol {\Omega }}}$；

${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}}$；

可以求出辛條件：

${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}$。

在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

基本帕松括號不變量

在相空间裏，兩個函數${\displaystyle f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$關於正則坐標${\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} }$的帕松括號定義為

${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}$。

用辛標記，

${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$。

立刻，可以得到下述關係：

${\displaystyle {\big [}q_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\big [}p_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=0}$，

${\displaystyle {\big [}q_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=-{\big [}p_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\delta _{ij}}$。

定義基本帕松括號${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}}$為一個方矩陣，其中，元素${\displaystyle ij}$的值是${\displaystyle {\big [}\xi _{i},\ \xi _{j}{\big ]}}$。那麼，

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}$。

思考一個變換${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}}$。新坐標的基本帕松括號為

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$。

這兩個正則坐標的亞可比矩陣${\displaystyle M}$是

${\displaystyle M={\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$。

代入前一個方程式，則

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} }$。

假若這變換是正則變換，辛條件${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}$必須成立，

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}$。

相反地，假若${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}$，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}}$，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

帕松括號不變量

思考兩個函数${\displaystyle f,\ g}$對於正則坐標${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$的泊松括號

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}M^{T}{\boldsymbol {\Omega }}M{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\ \ _{\circ }\\\end{aligned}}}$

假若這變換是正則變換，辛條件${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}$必須成立，

${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\Xi }}}$。

所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}}$，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

參閱

• 正則變換列表
• 正則座標
• 帕松括號
• 辛矩陣
• 辛拓撲
• 辛群

參考文獻

1. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).