弗罗贝尼乌斯 在数学 中，特别交换代数 和域 理论中，弗罗贝尼乌斯自同态 （Frobenius endomorphism 弗罗贝尼乌斯 ）是特征 为素数 p 的交换环 中的一个特殊的自同态 。这个自同态以德国 数学家 费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯 命名。弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的p 次乘幂 。
x
↦
x
p
{\displaystyle x\mapsto x^{p}}
在一般情况下，弗罗贝尼乌斯并不总是自同构 。
设R 是一个交换环，特征是素数p 。定义环上的弗罗贝尼乌斯自同态F 为：
F
:
x
↦
x
p
{\displaystyle F:\,x\mapsto x^{p}}
这是一个自同态，因为首先对于乘法，它必然服从
F
(
x
y
)
=
(
x
y
)
p
=
x
p
y
p
=
F
(
x
)
F
(
y
)
{\displaystyle F(xy)=(xy)^{p}=x^{p}y^{p}=F(x)F(y)}
并且F (1) 也显然是1。然而同时，对于加法，也有：
F
(
x
+
y
)
=
F
(
x
)
+
F
(
y
)
{\displaystyle F(x+y)=F(x)+F(y)}
这是因为
F
(
x
+
y
)
=
(
x
+
y
)
p
{\displaystyle F(x+y)=(x+y)^{p}}
x
p
{\displaystyle x^{p}}
y
p
{\displaystyle y^{p}}
p 的倍数。事实上，其余的每一项都是
(
p
k
)
x
k
y
p
−
k
{\displaystyle {\binom {p}{k}}x^{k}y^{p-k}}
p
!
k
!
(
p
−
k
)
!
x
k
y
p
−
k
{\displaystyle {\frac {p!}{k!(p-k)!}}x^{k}y^{p-k}}
k 是一个介于1和p -1 之间的整数。这样，分母
k
!
(
p
−
k
)
!
{\displaystyle k!(p-k)!}
p 整除 ，而分子可以被p 整除。于是，整体来说是p 的倍数 。因此，由于环的特征是p ，这一项实际是0。从而：
F
(
x
+
y
)
=
(
x
+
y
)
p
=
x
p
+
y
p
+
∑
k
=
1
p
−
1
(
p
k
)
x
k
y
p
−
k
{\displaystyle F(x+y)=(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}x^{k}y^{p-k}}
=
x
p
+
y
p
=
F
(
x
)
+
F
(
y
)
{\displaystyle =x^{p}+y^{p}=F(x)+F(y)}
综上，弗罗贝尼乌斯自同态是满足自同态的定义的。
一般来说，弗罗贝尼乌斯自同态F 不是自同构，也就是说它不是一个一一映射 。举例来说，令K 为域F p t )，也就是在p 阶有限域 F p 超越 元素t 扩展得到的扩域 。显然，由于t 是超越元，它不可能在F 的像 集里面，否则t 就会是一个F p 多项式 的根 ，而不是超越元素。也就是说，F 不是自同构。
设R 为一个特征是p 的整环 。这里弗罗贝尼乌斯F 的不动点是所有使得方程 x p x 成立的元素，也就是多项式x p x 。根据费马小定理，这个多项式的全部根是0, 1, 2, ..., p - 1。因此，弗罗贝尼乌斯的不动点是R 中的素域 。
令 F q q 的有限域，其中的q = p d ，p 是域的特征。弗罗贝尼乌斯将域中的 F p F 生成了域扩张
F
p
⊂
F
q
{\displaystyle F_{p}\subset F_{q}}
伽罗瓦群 。
Lawrence C. Washington. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography , Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications). Chapman and Hall/CRC. 2008. ISBN 978-1-420-07146-7 。
