內自同構

抽象代數群論中,內自同構(英語:Inner automorphism)是的一種自同構。群內部的元素的共軛作用可以定義一個自同構,因而得名「內」自同構。

定義

的一個元素,則 對應的內自同構可以由如下的方程給出

該方程是 的一個自同態,因為對任意 ,有

所有由 的元素的共軛作用給出的自同構稱為內自同構

性質

gG中心Z(G)內,則是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言,不動點集,正是g中心化子CG(g)。

內自同構逆元。兩個內自同構複合

由群的中心的基本性質可知,若Inn(G)是循環群,則Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G無中心,則G稱為完備群

G完滿群且Inn(G)是單群,則G稱為擬單群

內自同構群

的內自同構組成內自同構群 。內自同構群 與群 對其中心 的商群 同構。

內自同構群 的自同構群 中的正規子群,其對應商群記為 ,稱為外自同構群

上述關係可以用以下兩個短正合列表示:

正規子群

的子群 正規子群 的任一內自同構的作用下不變。這時 的內自同構限制到 上時是 的一個自同構(未必是 的內自同構),因而有群同態。這個群同態的 中的中心化子

對一般的子群H,可取其在G中的正規化子NG(H),則H是NG(H)的正規子群,故有群同態,其核是CG(H)。因此NG(H)/CG(H)可以嵌入到Aut(H)內,即

單射

參考