Вузол є однорідною[1]замкнутою косою (а саме, замиканням коси з 3 нитками σ1σ2−1σ1σ2−1), а теорема Джона Сталлінґса[en] показує, що будь-яка однорідна коса є розшарованою.
Вузол є зачепленням у точці (0,0,0,0) — ізольованій критичній точці дійсного поліноміального відображення F: R4→R2 так, що (згідно з теоремою Джона Мілнора) відображення Мілнора[en]F є розшаруванням. Бернард Перон знайшов першу таку функцію F для цього вузла, а саме:
де
.
Математичні властивості
Вузол «вісімка» грав історично важливу роль (і продовжує її грати) в теорії 3-многовидів[en] . Десь в середині 1970-х, Вільям Терстон показав, що вісімка є гіперболічним вузлом шляхом розкладання його доповнення на два ідеальних гіперболічних тетраедри (Роберт Райлі і Троельс Йорґенсен, працюючи незалежно один від одного, до цього показали, що вісімка є гіперболічної в іншому сенсі). Ця конструкція, нова на той час, привела його до багатьох сильних результатів і методів. Наприклад він зміг показати, що всі, окрім десяти, хірургій Дена[en] на вузлі «вісімка» дають нехакенові[ru], такі, що не допускають розшарування Зейфертанерозкладні[en] 3-многовиди. Це був перший з таких результатів. Багато інших було відкрито шляхом узагальнення побудови Терстона для інших вузлів і зачеплень.
Вісімка є також гіперболічним вузлом з найменшим можливим об'ємом2,02 988…, згідно з роботою Чо Чунь (Chun Cao) і Роберта Маєрхофа (Robert Meyerhoff). З цієї точки зору вісімку можна розглядати як найпростіший гіперболічний вузол. Доповнення вісімки є подвійним накриттяммноговиду Ґізекінґа[ru], який має найменший об'єм серед некомпактних гіперболічних 3-многовидів.
Вузол «вісімка» і мереживний вузол (−2,3,7)[en] є двомя гіперболічними вузлами, для яких відомо більше шести особливих хірургій, хірургій Дена, які приводять до негіперболічних 3-многовиів. Вони мають 10 і 7 відповідно. Теорема Лекенбі (Lackenby) і Маєргофа, доведення якої спирається на гіпотезу про геометризацію і використання комп'ютерних обчислень, стверджує, що 10 є найбільшим можливим числом особливих хірургій для будь-яких гіперболічних вузлів. Однак досі не встановлено, чи є вісімка єдиним вузлом, на якому досягається межа 10. Добре відома гіпотеза стверджує, що нижня межа (за винятком двох згаданих вузлів) дорівнює 6.
Chun Cao, Robert Meyerhoff. The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume // Inventiones Mathematicae. — 2001. — Т. 146, вип. 3.MR1869847