Інтеграл Лебега — це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.
Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.
Означення
Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою , і на ньому визначена вимірна функція .
Означення 1. Нехай — індикатор деякої вимірної множини , де .
Тоді інтеграл Лебега функції за означенням:
Означення 2. Нехай — проста функція , де , а — скінченне розбиття на вимірні множини.
Тоді
- .
Означення 3. Нехай тепер — невід’ємна функція, тобто .
Розглянемо всі прості функції , такі ,що .
Позначимо це сімейство . Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега.
Тоді інтеграл від задається формулою:
Нарешті, якщо функція довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:
де
- .
Означення 4. Нехай — довільна вимірна функція.
Тоді її інтеграл задаєтся формулою:
- .
Означення 5. Нехай нарешті довільна вимірна множина. Тоді за означенням
- ,
де — індикатор-функція множини .
Приклад
Розглянемо функцію Діріхле , задану на . Ця функція набуває значення у раціональних точках і — в ірраціональних. Легко побачити, що не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, на просторі зі скінченною мірою , де — борелівська σ-алгебра на , а — міра Лебега, вона є простою функцією, бо набуває тільки двох значень, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:
Справді, міра відрізка дорівнює .
Оскільки множина раціональних чисел зліченна, то її міра дорівнює .
Значить міра ірраціональних чисел дорівнює .
Зауваження
- Так оскільки , то вимірна функція інтегровна за Лебегом тоді й тільки тоді, коли функція інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується для інтеграла Рімана;
- Залежно від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом.
- Якщо функція визначена на ймовірнісному просторі і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.
Найпростіші властивості інтеграла Лебега
- Інтеграл Лебега лінійний, тобто
- ,
де — довільні константи;
- Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо майже скрізь, і інтегровна, то інтегровна і , і більш того
- ;
- Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо майже скрізь, то
- .
Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функцій
Джерела