Лема Фату

Ле́ма Фату́ — твердження, яке використовується при доведені різних теорем у функціональному аналізі і теорії ймовірностей.

Формулювання з функціонального аналізу

Нехай фіксовано простір з мірою ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$. Припустимо, що ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ — послідовність невід'ємних інтегровних функцій на ${\displaystyle X}$. Тоді виконується наступна нерівність для нижніх границь

${\displaystyle \int \limits _{X}{\liminf _{n\to \infty }}f_{n}(x)\,\mu (dx)\leq {\liminf _{n\to \infty }}\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx)}$.

Формулювання з теорії ймовірностей

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій ${\displaystyle \Omega }$, наведена вище теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай є невід'ємна послідовність інтегрованих випадкових величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$. Тоді виконується наступна нерівність для нижніх границь

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\liminf \limits _{n\to \infty }}X_{n}\right]\leq {\liminf \limits _{n\to \infty }}\,\mathbb {E} X_{n}.}$

Див. також

• Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)