Троянда (плоска крива)

Деякі приклади троянд , що мають рівняння ${\displaystyle \rho =\cos k\varphi }$ в полярній системі координат при різних значеннях ${\displaystyle k=n/d}$.

Троянда (також крива Гвідо Гранді[1]^:стор.302, або родонія) — плоска крива, яка в полярній системі координат задана рівнянням:

${\displaystyle \rho =a\cdot \sin k\varphi \quad }$ або ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \cos k\varphi .}$

Тут ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle k}$ — сталі, які відповідно визначають розмір та кількість пелюсток троянди.

Назву «rhodonea» кривим дав італійський математик Ґвідо Ґранді за їх схожість з пелюстками квітів; він вивчав їх у 1723—1728 роках і описав в своїй роботі «Flores geometrici» (1728).

Троянди є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей, а також епі- та гіпотрохоїд.

Рівняння

• В полярній системі координат крива описується рівнянням у вигляді:

${\displaystyle \rho =a\cdot \cos k\varphi }$

Тут ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle k}$ — сталі, що визначають розмір (a) і кількість пелюсток (k) даної троянди; числа ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle q}$  — взаємно прості, тобто НСД {p;q} = 1.

При цьому, початок координат ${\displaystyle O(0,0)}$ — полюс, багатократна вузлова точка, а одна з пелюсток троянди орієнтована вздовж осі ${\displaystyle Ox}$.

Рівняння троянди в полярній системі координат можна також записати через функцію синуса[2]:

${\displaystyle \rho =a\cdot \sin k\varphi .}$

Зокрема,

${\displaystyle \sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)}$.

Таким чином, троянда, що задана рівнянням r = a· sin(kφ) є ідентичною до кривої, що задана рівнянням r = a· cos(kφ), але повернутою відносно полюса проти годинникової стрілки на кут π/2k радіан, що становить чверть періоду синусоїди.
При цьому, одна з пелюсток троянди орієнтована вздовж осі ${\displaystyle Oy}$.

• Рівняння троянди в декартовій системі координат в параметричному виді має вигляд:

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos kt\cdot \cos t\\y(t)=a\cdot \cos kt\cdot \sin t\end{cases}}}$

• Троянда, що задана полярним рівнянням r = a· sin(kφ) може бути представлена в декартовій системі координат рівнянням в неявному виді:[3]^:стор.163

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{q}\cdot &\left({\binom {p}{1}}\cdot x^{p-1}y-{\binom {p}{3}}\cdot x^{p-3}y^{3}+{\binom {p}{5}}\cdot x^{p-5}y^{5}-\cdots \right)=\,\\&={\binom {q}{1}}\cdot (x^{2}+y^{2})^{\frac {p+1}{2}}\cdot (a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{\frac {q-1}{2}}-{\binom {q}{3}}\cdot (x^{2}+y^{2})^{\frac {p-1}{2}}\cdot (a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{\frac {q-3}{2}}+\cdots \end{aligned}}}$

Дане рівняння буде раціональним (а крива алгебричною), якщо числа ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle q}$  — обидва непарні. В цьому випадку степінь рівняння, а отже, і порядок кривої дорівнює p + q.
Якщо одне з чисел ${\displaystyle p}$ або ${\displaystyle q}$ є парним, то рівняння буде раціональним тільки після підведення обох його частин до квадрату. В цьому випадку степінь рівняння, а отже, і порядок кривої дорівнює 2·(p + q).

Метричні характеристики

Нехай троянда задана в полярній системі координат рівнянням r = a· cos(kφ) або r = a· sin(kφ), де k — натуральне число. Тоді:

• Довжина дуги однієї пелюстки троянди:[2]

${\displaystyle \ell ={\frac {2a}{k}}\cdot \mathrm {E} \left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}$

де ${\displaystyle \mathrm {E} (k)}$ — повний еліптичний інтеграл другого роду.

Також:[4]

${\displaystyle \ell =2a\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)\cdot \sin ^{2}t}}\,dt\,\approx a{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {1+k^{2}}}.}$

• Площа области, що обмежена трояндою:[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\varphi ))^{2}\,d\varphi &={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}&&\quad {\text{для парних }}k\\[8px]{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\varphi ))^{2}\,d\varphi &={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}&&\quad {\text{для непарних }}k\end{aligned}}}$

При парних k троянда має 2k пелюсток, а при непарних k кількість пелюсток дорівнює k; отже, площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди дорівнює[2] πa^2/4k.

Властивості та особливості форми

• Вся крива розташовується всередині кола радіуса ${\displaystyle a}$ і в разі ${\displaystyle k>1}$ складається з однакових за формою та розміром пелюсток.
• Якщо ${\displaystyle k={\frac {p}{q}}}$ — раціональне число (зокрема і натуральне), то троянда є алгебричною кривою порядку p + q, якщо числа ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle q}$  — обидва непарні; та порядку 2·(p + q), якщо одне з них — парне.

Кількість різних троянд одного й того ж порядку ${\displaystyle m}$, у випадку, коли ${\displaystyle m}$ кратне чотирьом, дорівнює значенню функції ${\displaystyle \pi (m)}$, що визначає кількість простих чисел, менших за ${\displaystyle m}$.[3]^:стор.164
Якщо ${\displaystyle m}$ ділиться лише на 2, то кількість троянд порядку ${\displaystyle m}$ дорівнює ${\displaystyle \pi (m)+\pi \left({\frac {m}{2}}\right)}$.
Зокрема, кількість троянд 4-го порядку дорівнює ${\displaystyle \pi (4)=2\quad \left(k=3,k={\frac {1}{3}}\right)}$;
кількість троянд 6-го порядку дорівнює ${\displaystyle \pi (6)+\pi (3)=4\quad \left(k=2,k={\frac {1}{2}},k=5,k={\frac {1}{5}}\right)}$

Пелюстки

Кількість пелюсток троянди залежить від значення модуля ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle k}$ — натуральне число

• 

  Приклади троянд ${\displaystyle r=\cos(k\varphi )}$з натуральним модулем ${\displaystyle k=n=2,3,4,5}$

  Якщо ${\displaystyle k=n}$ — натуральне число, то троянда має ${\displaystyle k}$ пелюсток, якщо ${\displaystyle k}$ непарне і ${\displaystyle 2k}$ пелюсток, — якщо парне.
  Пелюстки не перекривають одна одну; початок координат (полюс) є вузловою точкою, відповідно ${\displaystyle k}$-го або ${\displaystyle 2k}$-го порядку.

Окремі випадки

• Чотирипелюсткова троянда (квадрифолій)

${\displaystyle \rho =a\cdot \cos 2\varphi \quad }$ або ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \sin 2\varphi .}$

Троянда з модулем k = 2; має 2k = 4 пелюсток, вершини яких є вершинами квадрата. Має центр симетрії.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}}$

та

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=4\left(axy\right)^{2}}$.

• Трипелюсткова троянда (трифолій)

${\displaystyle \rho =a\cdot \cos 3\varphi \quad }$ або ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \sin 3\varphi .}$

Троянда з модулем k = 3; має k = 3 пелюстки, вершини яких є вершинами рівностороннього трикутника.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):[6]

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(x^{3}-3xy^{2}\right)}$

та

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}$

• 8-пелюсткова троянда (октофолій)

${\displaystyle \rho =a\cdot \cos 4\varphi \quad }$ або ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \sin 4\varphi .}$

Троянда з модулем k = 4; має 2k = 8 пелюсток, вершини яких є вершинами правильного восьмикутника. Має центр симетрії.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=a^{2}\left(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\right)^{2}}$

and

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=16a^{2}\left(xy^{3}-yx^{3}\right)^{2}}$

• 5-пелюсткова троянда (пентафолій)

${\displaystyle \rho =a\cdot \cos 5\varphi \quad }$ або ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \sin 5\varphi .}$

Троянда з модулем k = 5; має k = 5 пелюсток, вершини яких є вершинами правильного п'ятикутника.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\right)}$

та

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\right)}$.

• 12-пелюсткова троянда (додекафолій)

${\displaystyle \rho =a\cdot \cos 6\varphi \quad }$ або ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \sin 6\varphi .}$

Троянда з модулем k = 6; має 2k = 12 пелюсток, вершини яких є вершинами правильного 12-кутника. Має центр симетрії.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=a^{2}\left(x^{6}-15x^{4}y^{2}+15x^{2}y^{4}-y^{6}\right)^{2}}$

та

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=4a^{2}\left(3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}\right)^{2}}$

${\displaystyle k}$ — раціональне число

• 

  Приклади троянд ${\displaystyle r=\cos(k\varphi )}$з раціональним модулем ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{5}}}$

  Якщо ${\displaystyle k={\frac {p}{q}}>1}$ — нескоротний дріб, де ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ взаємно прості, кількість пелюсток троянди рівне ${\displaystyle p}$, якщо обидва числа непарні і ${\displaystyle 2p}$, якщо хоча б одне з них парне.
  Пелюстки частково перекривають одна одну.
  

Якщо ${\displaystyle p}$ непарне, а ${\displaystyle q}$ парне, то троянди ${\displaystyle \rho =a\cdot \cos k\varphi \quad }$ та ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \sin k\varphi }$ повністю збігаються.

Окремі випадки

• Пелюстка Дюрера [7] [8]

${\displaystyle \rho =a\cdot \cos \left({\frac {\varphi }{2}}\right)\quad }$ або ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \sin \left({\frac {\varphi }{2}}\right)}$

Троянда з модулем k = 1/2. Названа на честь німецького художника і гравера Альбрехта Дюрера.
Троянди, що задані рівняннями в косинус- або синус варіанті, повністю збігаються, незважаючи на те, що a cos(θ/2) ≠ a sin(θ/2).
Рівняння кривої в декартовій системі координат:

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)\left(2\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}\right)^{2}=a^{4}x^{2}}$

Пелюстка Дюрера є трисектрисою, тобто може бути використана для трисекції кутів.

• 

  Равлик Паскаля (трисектриса)

Троянда

${\displaystyle \rho =2a\cdot \cos \left({\frac {\varphi }{3}}\right)}$

з модулем k = 1/3 є равликом Паскаля ${\displaystyle \rho =a\cdot (1+2\cos \varphi )}$. Криві, задані цими рівняннями повністю ідентичні, але не збігаються в системі координат.
Крива має одну пелюстку з двома петлями.

Крива є трисектрисою, тобто може використовуватись для трисекції кутів.

${\displaystyle k}$ — ірраціональне число

• 

  Приклад троянди ${\displaystyle r=\cos(k\varphi )}$ з ірраціональним модулем ${\displaystyle k=\pi ,\ 0\leq \varphi \leq 40\pi }$

  При ${\displaystyle k}$ ірраціональному пелюсток нескінченно багато; крива не є алгебричною, незамкнена і щільно заповнює круг радіусом ${\displaystyle a}$ і центром в початку координат.

Симетрія

Троянда, що задана полярним рівнянням ${\displaystyle \rho =a\cdot \cos k\varphi }$ при ${\displaystyle k={\frac {p}{q}}}$ — раціональне число, симетрична відносно осі ${\displaystyle Ox}$. Також:

• Якщо ${\displaystyle k}$ — парне натуральне число, то крива має ${\displaystyle 2k}$ осей симетрії ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi \cdot n}{2k}}\right)\cdot x\quad (n=0,1,...,2k-1)}$;
  Полюс ${\displaystyle O(0,0)}$ є центром симетрії троянди.
• Якщо ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle q}$ непарні (зокрема, ${\displaystyle k}$ — непарне натуральне число), то крива має ${\displaystyle p}$ осей симетрії ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi \cdot n}{k}}\right)\cdot x\quad (n=0,1,...,p-1)}$, що проходять через вершину кожної пелюстки.
  Центру симетрії не має.
• Якщо ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle q}$ різної парности, то троянда має ${\displaystyle 2p}$ осей симетрії:
  — ${\displaystyle p}$ осей з рівнянням ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi \cdot n}{k}}\right)\cdot x\quad (n=0,1,...,p-1)}$, що проходять через протилежні вершини пелюсток;
  — ${\displaystyle p}$ осей з рівнянням ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi \cdot n}{k}}\right)\cdot x\quad (n=0,1,...,p-1)}$, які не проходять через вершини пелюсток.
  Полюс ${\displaystyle O(0,0)}$ є центром симетрії троянди.

Кінематичне та механічне утворення троянд

Приклади утворення троянд як гіпотрохоїд та епітрохоїд.

• При значеннях ${\displaystyle k>1}$ троянда є гіпотрохоїдою, а при ${\displaystyle k<1}$ — епітрохоїдою.[3]^:стор.164

Троянда ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \cos k\varphi }$ є гіпотрохоїдою, у якої радіус нерухомого кола дорівнює ${\displaystyle R={\frac {a\cdot k}{k+1}}}$, радіус твірного (рухомого) кола дорівнює ${\displaystyle r={\frac {a\cdot (k-1)}{2(k+1)}}}$, а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$. [9]^:стор.235

Також троянди є подерами епі- та гіпоциклоїд відносно центра їх нерухомого кола.[3]^:стор.164

• Нехай два рівних відрізка ${\displaystyle OA}$ та ${\displaystyle AM}$ довжиною ${\displaystyle a}$ обертаються навколо точок ${\displaystyle O}$ та ${\displaystyle A}$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює ${\displaystyle {\frac {\omega _{OA}}{\omega _{AM}}}=p}$.
  Тоді траєкторією точки ${\displaystyle M}$ буде троянда.
• Нехай два радіуси ${\displaystyle OA}$ та ${\displaystyle OB}$ деякого кола обертаються навколо точки ${\displaystyle O}$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює ${\displaystyle {\frac {\omega _{OA}}{\omega _{OB}}}=p}$.
  Тоді, геометричним місцем підстав перпендикулярів, проведених з точки ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle OB}$ є троянда.[3]^:стор.165

• Утворення троянди одним з кінематичних способів [10]

  

  
  Якщо деяка точка здійснює гармонічні коливання вздовж прямої, що обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо нерухомої точки — центра коливань, то траекторією цієї точки буде троянда.[3]^:стор.166

Прикдади троянд r = cos(kφ), що утворені при обертанні зубчастих коліс з різним передаточним відношенням.
Промені, що відображені на графіках, є полярною віссю та віссю φ = π/2.
Побудова графіка починається з точки φ = 2π, якщо k — натуральне число, та з точки φ = 2q·π в іншому випадку, та відбувається за годинниковою стрілкою до точки φ = 0.

Коло, k = 1 (p = 1, q = 1). Крива замикається при φ = π (половина оберту веденого зубчастого колеса).

Равлик Паскаля ${\displaystyle r=a(1+2\cos \varphi )}$, (що є трисектрисою), k = 1/3 (p = 1, q = 3), має одну пелюстку з двома петлями. Крива замикається при φ = 3π (3/2 оберта веденого колеса).

Трипелюсткова троянда (трифолій), k = 3 (p = 3, q = 1). Крива замикається при φ = π (половина оберта веденого колеса).

П'ятипелюсткова троянда (пентафолій), k = 5 (p = 5, q = 1). Крива замикається при φ = π (половина оберта веденого колеса).

8-пелюсткова троянда (октофолій), k = 4 (p = 4, q = 1). Крива замикається при φ = 2π (повний оберт веденого колеса).

Троянда з 8 пелюстками k = 4/5 (p = 4, q = 5), пелюстки утворені петлею, що самоперетинається. Крива має центр симетрії. Замикається при φ = 10π (п'ять обертів веденого колеса).

Див. також

• Трипелюсткова троянда
• Чотирипелюсткова троянда

Примітки

1. Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І., 1977.
2. Eric W. Weisstein. Rose (Mathematics). на сайті MathWorld
3. Савелов А.А., 1960.
4. Robert Ferreol. Rose. на сайті Mathcurve.com
5. [Rose curve] на сайті Wolframalpha.com
6. Eric W. Weisstein. Trifolium. Wolfram MathWordref.
7. Robert Ferreol. Dürer Folium.
8. Eric W. Weisstein. Dürer Folium.
9. Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.
10. Giorgio Pietrocola (2005). Tartapelago. Curve storiche, Rose di Grandi. Maecla.

Література

• Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І. Графіки функцій. Довідник / під ред. академіка АН УРСР Ляшко І.І. — Київ : Наукова думка, 1977. — 320 с.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.

• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник. — москва : фазис, 1997. — 336 с. — ISBN 5-7036-0027-8.

• Loria, Gino. Achtes Kapitel. Die Rhodoneen (Rosenkurven) von G. Grandi // Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. — Leipzig, 1902. — С. 297— 306. — ISBN 5-7036-0027-8.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Rose Curve(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Roses (curves) Encyclopedia of Mathematics. , 2014.
• Ferréol Robert , ROSE, на сайті MATHCURVE.COM, 2017
• MacTutor History of Mathematics Archive. «Rhodonea Curves.»
• Xah Lee. Rose
• Jan Wassenaar, Rhodonea, на сайті www.2dcurves.com.
• Аплет для створення троянд з параметром k