Еволюта

Еволюта
Формула	${\displaystyle E(s)=\gamma (s)+R(s)\mathbf {N} (s)=\gamma (s)+{\frac {1}{\kappa (s)}}\mathbf {N} (s)}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Еліпс (червона лінія) та його еволюта (синя лінія), що має назву астроїда.

Приклад побудови еволюти параболи

Еволюта (лат. evolutus  — розгорнутий)  — множина точок центрів кривизни кривої. По відношенню до своєї еволюти будь-яка крива є евольвентою.

Для побудови еволюти кривої, крива в околі кожної точки апроксимується частиною кола, дотичного до кривої. Центри таких кіл і утворюють еволюту. Еволюта є обвідною сімейства її нормалей.

Поняття еволюти і термін введені Х. Гюйгенсом (1673).

Рівняння еволюти

Якщо лінія задана параметричними рівняннями ${\displaystyle x=x(t),\ y=y(t)}$, то еволюта описується рівняннями:

${\displaystyle X=x-y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}},}$

${\displaystyle Y=y+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}$

Див. також

• Евольвента
• Паралельна крива

Посилання

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Еволюта(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.