Строфоїда

Строфоїда (від грец. στροφή — поворот) — алгебрична крива 3-го порядку. Будується таким чином (див. Рис. 1):

Рис. 1

Рис. 2

У декартовій системі координат, де вісь абсцис направлена ​​за OB, а вісь ординат за OD, задана фіксована точка A на осі OX. Через точку А проводиться довільна пряма AL, яка перетинає вісь ординат у точці P. Від точки P, на відстані рівній OP, в обидва боки вздовж прямої AL розташовані точки M1 і M2. Геометричне місце точок M1 і M2 утворюють строфоїду.

У прямокутній системі координат будується пряма строфоїда або просто строфоїда, яка зображена на Рис.1. У косокутній системі координат будується коса строфоїда — Рис.2.

Рівняння

Рівняння строфоїди в декартовій системі координат, де O — початок координат, вісь абсцис направлена за променем OB, вісь ординат за променем OD, кут ${\displaystyle \alpha =\angle AOD}$(для прямокутної системи координат ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}}$), записується так:

${\displaystyle y^{2}\left(x-a\right)-2x^{2}y\cos \alpha +x^{2}\left(a+x\right)=0}$.

Рівняння прямої строфоїди:

${\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}}$.

Рівняння строфоїди в полярній системі координат:

${\displaystyle \rho =-{\frac {a\cos 2\phi }{\cos \phi }}}$.

Параметричне рівняння строфоїди:

${\displaystyle x=a\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)}$

${\displaystyle y=au\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)}$, де

${\displaystyle u=\mathrm {tg} \,\phi }$.

Точка B розміщена від центру координат O на відстані, рівній a = OA. Пряма UV, проведена через точку B паралельно до осі ординат слугує асимптотою для обох гілок прямої строфоїди. Для косої строфоїди, пряма UV слугує асимптотою для нижньої гілки і дотичною в точці S, причому SB = SA.

У точці O існують дві дотичні, які взаємно перпендикулярні, як для прямої, так і для косої строфоїди.

Див. також

• Конхоїда Слюза