Teorema di Heine-Cantor

In matematica, il teorema di Heine - Cantor è un teorema di analisi matematica riguardante l'uniforme continuità di funzioni definite fra spazi metrici. Prende il nome da Eduard Heine e Georg Cantor.

In generale ogni funzione uniformemente continua è anche continua. Il teorema di Heine-Cantor permette di invertire tale implicazione, nell'ipotesi che il dominio sia uno spazio metrico compatto.

Il teorema

Siano ${\displaystyle (M,d)}$ e ${\displaystyle (N,\rho )}$ spazi metrici, e ${\displaystyle f:M\to N}$ una funzione continua su ${\displaystyle M}$. Se ${\displaystyle M}$ è compatto allora ${\displaystyle f}$ è uniformemente continua.[1]

In particolare, tutte le funzioni reali di variabile reale continue definite su un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue.

Dimostrazione

Assumiamo, per assurdo, che non valga la tesi; la negazione di

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0:\forall x,y\in M,d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon }$

equivale a

${\displaystyle \exists {\bar {\varepsilon }}>0:\forall \delta >0,\exists x=x_{\delta },y=y_{\delta }\in M:d(x_{\delta },y_{\delta })<\delta ,\rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\geq {\bar {\varepsilon }}}$.

Supponiamo dunque che esista ${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}>0}$ tale che per ogni ${\displaystyle \delta >0}$ esistano punti ${\displaystyle x_{\delta },y_{\delta }}$ tali che

${\displaystyle d(x_{\delta },y_{\delta })<\delta }$ e ${\displaystyle \rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\geq {\bar {\varepsilon }}}$

Diamo a ${\displaystyle \delta }$ i valori ${\displaystyle 1,{1 \over 2},{1 \over 3}\cdots ,{1 \over n},\cdots }$ e denotiamo con ${\displaystyle x_{n}}$ e ${\displaystyle y_{n}}$ i corrispondenti punti ${\displaystyle x_{\delta },y_{\delta }}$.

In questo modo si definiscono due successioni di punti ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ e ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$.

Poiché ${\displaystyle M}$ è compatto da ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ si può estrarre una sotto-successione convergente ad un punto ${\displaystyle z\in M}$; sia essa ${\displaystyle \{x_{n_{j}}\}}$.

Poiché ${\displaystyle d(x_{n_{j}},y_{n_{j}})<{1 \over n_{j}}\to 0}$ per ${\displaystyle j\to +\infty }$, si ha

${\displaystyle d(y_{n_{j}},z)\leq d(x_{n_{j}},y_{n_{j}})+d(x_{n_{j}},z)\to 0\quad }$ per ${\displaystyle j\to +\infty }$. quindi anche ${\displaystyle \{y_{n_{j}}\}}$ converge a ${\displaystyle z}$

Poiché per ogni ${\displaystyle j}$ si ha

${\displaystyle \rho (f(x_{n_{j}}),f(y_{n_{j}}))\leq \rho (f(x_{n_{j}}),f(z))+\rho (f(y_{n_{j}}),f(z))}$

e il secondo membro tende a zero per la continuità della funzione, segue

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\rho (f(x_{n_{j}}),f(y_{n_{j}}))=0}$

incompatibile con l'ipotesi d'assurdo ${\displaystyle \rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\geq {\bar {\varepsilon }}}$

Condizione sufficiente

La compattezza è una condizione sufficiente ma non necessaria per avere continuità uniforme. Esistono infatti funzioni uniformemente continue definite in spazi metrici non compatti. Banalmente la funzione ${\displaystyle f(x)=x}$ è uniformemente continua in ogni spazio metrico, come pure le funzioni costanti.[1]

Note

1. P. M. Soardi, p. 187.

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.